Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.23671/VNC.2018.4.9167
Численный метод решения краевой задачи пятого порядка для обыкновенных дифференциальных уравнений
Панди П. К.
Владикавказский математический журнал. 2017. Том 19. Выпуск 4.С.50-57..
Аннотация: В данной статье предложена методика решения граничной задачи пятого порядка как сопряженной пары граничных задач. Рассматривается граничная задача пятого порядка для обыкновенного дифференциального уравнения. Существуют различные методы численного решения этой задачи. Мы рассматриваем применение метода конечных разностей для численного решения задачи. В данной статье мы преобразовали дифференциальную задачу пятого порядка в систему дифференциальных уравнений более низкого порядка, а именно первого и четвертого. Далее, мы провели дискретизацию системы дифференциальных уравнений в рассматриваемой области и, тем самым, получили систему алгебраических уравнений. Теперь для численного решение задачи мы располагаем системой алгебраических уравнений, решение которой служит приближенным решением рассматриваемой задачи. Кроме того, мы получаем численное приближение первой и второй производных в качестве побочного продукта предлагаемого метода. Показано, что предлагаемый метод сходится и порядок точности предлагаемого метода, по меньшей мере, квадратичен. Численные результаты, полученные в ходе вычислительного эксперимента по тестовым задачам, подтверждают эффективность и точность метода.
Ключевые слова: краевая задача, сходимость кубического порядка, разностный метод, дифференциальное уравнение пятого порядка, задача нечетного порядка, задача четно-нечетного порядка
Образец цитирования: Pandey P. K. A Numerical Method for the Solution of Fifth Order
Boundary Value Problem in Ordinary Differential Equations // Владикавк. мат. журн. 2017. Том 19, вып. 4. С. 50-57. DOI 10.23671/VNC.2018.4.9167
1. Sibley D. N. Viscoelastic Flows of PTT Fluids. Ph.D. Thesis.
UK: University of Bath, 2010.
2. Davies A. R., Karageorghis A., and Phillips T. N. Spectral
Galerkin methods for the primary two-point boundary-value problem in
modeling viscoelastic flows // Internat. J. Numer. Methods Eng.
1988. Vol. 26, № 3. P. 647-662.
3. Agarwal R. P. Boundary Value Problems for Higher Order
Differential Equations. Singapore: World Scientific, 1986.
4. Khan M. S. Finite difference solutions of fifth order boundary
value problems. Ph.D. thesis. UK: Brunel University London, 1994.
5. Caglar H. N., Caglar S. H., and Twizell E. H. The numerical
solution of fifth-order boundary value problems with sixth-degree
$B$-spline functions // Appl. Math. Letters. 1999. Vol. 12, № 5. P.
25-30.
6. Lamnii A., Mraoui H., Sbibih D., and Tijini A. Sextic spline
solution of fifth order boundary value problems // Math. Computer
Simul. 2008. Vol. 77. P. 237-246.
7. Wazwaz A. M. The numerical solution of fifth-order boundary value
problems by the decomposition method // J. Comp. and Appl. Math.
2001. Vol. 136, № 1-2. P. 259-270.
8. Karageorghis A., Davies A. R., and Phillips T. N. Spectral
collocation methods for the primary two-point boundary-value problem
in modelling viscoelastic flows // Internat. J. Numer. Methods Eng.
1988. Vol. 26, № 4. P. 805-813.
9. Viswanadham K. N. S. K., Krishnaa P. M., and Rao C. P. Numerical
Solution of Fifth Order Boundary Value Problems by Collocation
Method with Sixth Order $B$-Splines // Internat. J. Numer. Methods
Eng. 2010. Vol. 8, № 2. P. 119-125.
10. Erturk V. S. Solving nonlinear fifth order boundary value
problems by differential transformation method // Selcuk J. Appl.
Math. 2007. Vol. 8, № 1. P. 45-49.
11. Ali A., Mustafa I., and Adem K. A Comparison on Solutions of
Fifth-Order Boundary Value Problems // Appl. Math. Inf. Sci. 2016.
Vol. 10, № 2. P. 755-764.
12. Pandey P. K. The Numerical Solution of Third Order Differential
Equation Containing the First Derivative // Neural, Parallel and
Sci. Comp. 2005. Vol. 13. P. 297-304.
13. Mohanty R. K. A fourth-order finite difference method for the
general one-dimensional nonlinear biharmonic problems of first kind
// J. Comp. Appl. Math. 2000. Vol. 114, № 2. P. 275-290.
14. Mohanty R. K., Jain M. K. and Pandey P. K. Finite difference
methods of order two and four for 2-D nonlinear biharmonic problems
of first kind // Int. J. Comput. Math. 1996. Vol. 61. P. 155-163.
15. Varga R. S. Matrix Iterative Analysis, Second Revised and
Expanded Edition. Heidelberg: Springer-Verlag, 2000.
16. Horn R. A., Johnson C. R. Matrix Analysis. N.\,Y.: Cambridge
Univ. Press, 1990.
17. Gil M. I. Invertibility Conditions for Block Matrices and
Estimates for Norms of Inverse Matrices // Rocky Mountain J. of
Math. 2003. Vol. 33, № 4. P. 1323-1335.
