Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.23671/VNC.2019.21.44619
Некоторые замечания о нестандартных методах анализа. I
Гордон Е. И.
Владикавказский математический журнал. 2019. Том 21. Выпуск 4.С.25-41.
Аннотация: В этой и последующей статьях обсуждаются два наиболее известных нестандартных метода математического анaлиза - инфинитезимальный анализ А. Робинсона и булевозначный анализ, затрагивается история их возникновения, общие черты и различия, приложения и перспективы. В этой статье содержится обзор инфинитизимального анализа и метода вынуждения. Изложение рассчитано на читателя знакомого лишь с самыми начальными понятиями математической логики - языком логики предикатов 1-го порядка и его интерпретациями. Желательно иметь также некоторое представление о формальных доказательствах и аксиоматике теории множеств Цермело - Френкеля. При изложении инфинитезимального анализа особое внимание уделяется формализации предложений обычной математики в языке первого порядка для суперструктуры. Изложение метода форсинга предваряется кратким обзором результата К. Геделя о совместимости аксиомы выбора и гипотезы континуума с аксиоматикой Цермело - Френкеля. Следующая статья будет посвящена, булевозначным моделям и булевозначному анализу. Особое внимание будет уделено истории их возникновения.
Ключевые слова: булевозначный анализ, нестандартный анализ, метод вынуждения.
Образец цитирования: Gordon E. I. Some Remarks about Nonstandard Methods in Analysis. I // Владикавк. мат. журн. 2019. Т. 21, №4. С. 25-41 (in English). DOI 10.23671/VNC.2019.21.44619
1. Kusraev, A. G. and Kutateladze, S. S. Nonstandard Methods of Analysis,
Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1995, 398 p.
2. Maltsev, A. I. A General Method for Obtaining Local Theorems in Group Theory, Uchen. Zap. Ivanovsk. Gos. Ped. Inst. Uch. Zap. Fiz.-Mat. Fak., 1941, vol. 1, no. 1, pp. 3-9 (in Russian).
3. Robinson, A. Nonstandard Analysis, Revised Edition, Princeton, Princeton University Press, 1996, 312 p.
4. Albeverio, S., Fenstad, J. E. and et al. Nonstandard Methods in Stochastic Analysis and
Mathematical Physics, Academic Press, Orlando, etc., 1990, 514 p.
5. Scott, D. A Proof of the Independence of the Continuum Hypothesis, Mathematical System Theory, 1967, vol. 1, no. 2, pp. 89-111. DOI: 10.1007/BF01705520.
6. Scott, D. Lectures of Boolean Valued Models of Set Theory, Amer. Math. Soc., Summer Institute on Axiomatic Set Theory, UCLA, 1967.
7. Scott, D. and Solovay, R. Boolean Valued Models of Set Theory, Axiomatic Set Theory, Proc. Sympos.
Pure Math., vol. 13, Amer. Math. Soc., Providence, R.I.
8. Saks, G. Measure-Theoretical Uniformity in Recursion Theory and Set Theory, Trans. Amer. Math. Soc., 1969, vol. 142, no. 2, pp. 381-420. DOI: 10.1090/S0002-9947-1969-0253895-6.
9. Takeuti, G. Two Applications of Logic to Mathematics, Tokio and Princeton, Iwanami and Princeton University Press, 1978, p. 148.
10. Takeuti, G. A Transfer Principle in Harmonic Analysis, Journal of Symbolic Logic, 1979, vol. 44, no. 3, pp. 417-440.
11. Kusraev, A. G. and Kutateladze, S. S. Introduction to Boolean Valued Analysis, Moscow, Nauka, 2005, 526 p. (in Russian).
12. Kusraev, A. G. and Kutateladze, S. S. Boolean Valued Analysis: Selected Topics,
Vladikavkaz, Southern Mathematical Institute, VSC RAS & RNO-A, 2014, 400 p.
13. Gordon, E. I. Real Numbers in Boolean Valued Models of Set Theory, and \(K\)-Spaces, Soviet Mathematics Doklady, 1977, vol. 18, pp. 1481-1484.
14. Loeb, P. A. and Wolff, M. Ph. Nonstandard Analysis for the Working Mathematician, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 2000, 325 p.
15. Davis, M. Applied Nonstandard Analysis, New York, etc., John Wiley & Sons, 1977.
16. Manin, Yu. I. A Course in Mathematical Logic for Mathematicians. Second Edition, New York, etc., Springer, 2010, p. 403.
17. Gordon E. I. Nonstandard Methods in Commutative Harmonic Analysis,
Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1977, 180 p.
18. McDuff, D. On Theory of \(II_1\) Factors, Russian Mathematical Surveys, 1970, vol. 25, no. 1, pp. 29-51 (in Russian).
19. Solovay, R. A Model of Set-Theory in Which Every Set of Reals is Lebesgue Measurable, Annals of Mathematics, 1970, vol. 92, no. 1, pp. 1-56. DOI: 10.2307/1970696.
20. Godel, K. Consistency of Continuum Hypothesis, Princeton University Press, Princeton, 1940.
21. Jech, T. J. Lectures in Set Theory with Particular Emphasis on the Method of Forcing, Lecture Notes in Mathematics, vol. 217, Berlin, Springer-Verlag, 1971. DOI: 10.1007/BFb0061131.
22. Cohen, P. J. Set Theory and the Continuum Hypothesis, New York, etc., Benjamin, 1966.
23. Vladimirov, D. A. Boolean Algebras in Analysis, Dordrecht, Springer Science & Business Media, 2002.
24. Solovay, R. and Tennenbaum, S. Iterated Cohen Extensions and Souslin's Problem, Annals of Mathematics, 1971, vol. 94, no. 2, pp. 201-245. DOI: 10.2307/2272650.
25. Solovаy, R. On the Cardinality of \(\sum_1^2\)-Sets of Reals, Foundations of Mathematics, Symposium Papers Commemorating the Sixtieth Birthday of Kurt Godel, Berlin, Springer Verlag, 1969, pp.58-73. DOI: 10.1007/978-3-642-86745-3_7.
26. Shelah, S. Can you Take Solovay's Inaccessible Away? Israel Journal of Mathematics, 1984, vol. 48, pp. 1-47. DOI: 10.1007/BF02760522.
27. Gordon, E. I. On the Extension of Haar Measure in \(\sigma\)-Compact Groups, Moscow, Lenin Moscow State Pedagogical Institute, VINITI, no. 1243-81, 1980 (in Russian).
