Аннотация: В этой работе рассматривается сингулярное разностное уравнение Хана - Штурма - Лиувилля, определяемый уравнением \(-q^{-1}D_{-\omega q^{-1},q^{-1}}D_{\omega ,q}y( x)+v(x)y(x) =\lambda y(x)\), \(x\in(\omega _{0},\infty),\) где \(\lambda\) - комплексный параметр, \(v\) - вещественнозначная функция, определенная на \([\omega _{0},\infty)\) и непрерывная в~точке \(\omega _{0}\). Такого вида уравнения возникают, когда обычную производную в классической задаче Штурма - Лиувилля заменяется на \((\omega,q)\)-Хан разностным оператором \(D_{\omega,q}\). Развивается \((\omega, q)\)-аналог классической теории Титчмарша - Вейля для таких уравнений. Другими словами, изучается существование квадратично интегрируемое решение сингулярного уравнения Хана - Штурма - Лиувилля. Сначала определяется подходящее гильбертово пространство в терминах интеграла Джексона - Нерлунда. Затем изучаются семейства регулярных задач Хана - Штурма - Лиувилля на \([\omega_{0},q^{-n}]\), \(n\in\mathbb{N}\). Далее, определяется семейство окружностей, сходящейся либо к точке, либо к кругу. Тем самым, в исчислении Хана возникают случаи предельной точки или предельной окружности, используя технику Титчмарша.
Ключевые слова: уравнение Хана - Штурма - Лиувилля, предельная окружность и предельная точка, теория Титчмарша - Вейля
Образец цитирования: Allahverdiev, B. P. and Tuna, H. Titchmarsh-Weyl Theory of the Singular Hahn-Sturm-Liouville Equation // Владикавк. мат. журн. 2021. Т. 23, № 3. C. 16-26.
DOI 10.46698/y9113-7002-9720-u
1. Weyl, H. Uber gewohnlicke Differentialgleichungen mit
Singuritaten und die zugehorigen Entwicklungen willkurlicher
Funktionen, Mathematische Annalen, 1910, vol. 68, no. 2, pp. 220-269.
DOI: 10.1007/ BF01474161.
2. Titchmarsh, E. C. Eigenfunction Expansions Associated with
Second-Order Differential Equations. Part I,
2nd Edition, Oxford, Clarendon Press, 1962.
3. Levitan, B. M. and Sargsjan, I. S. Sturm-Liouville and Dirac Operators,
Mathematics and its Applications (Soviet Series), Dordrecht,
Kluwer Academic Publishers Group, 1991. DOI: 10.1007/978-94-011-3748-5.
4. Yosida, K. On Titchmarsh-Kodaira's Formula Concerning
Weyl-Stone's Eigenfunction Expansion, Nagoya Mathematical Journal,
1950, vol. 1, pp. 49-58. DOI: 10.1017/S0027763000022820.
5. Yosida, K. Lectures on Differential and Integral Equations,
New York, Springer, 1960.
6. Levinson, N. A Simplified Proof of the Expansion Theorem
for Singular Second Order Linear Differential Equations,
Duke Mathematical Journal, 1951, vol. 18, no. 1, pp. 57-71.
DOI: 10.1215/S0012-7094-51-01806-6.
7. Hahn, W. Uber Orthogonalpolynome, die \(q\)-Differenzengleichungen genugen,
Mathematische Nachrichten, 1949, vol. 2, no. 1-2, pp. 4-34. DOI: 10.1002/mana.19490020103.
8. Hahn, W. Ein Beitrag zur Theorie der Orthogonalpolynome,
Monatshefte fur Mathematik, 1983, vol. 95, no. 1, pp. 19-24.
DOI: 10.1007/BF01301144.
9. Jackson, F. H. \(q\)-Difference Equations,
American Journal of Mathematics, 1910, no. 32, pp. 305-314.
10. Alvarez-Nodarse, R. On Characterizations of Classical Polynomials,
Journal of Computational and Applied Mathematics,
2006, vol. 196, no. 1, pp. 320-337. DOI: 10.1016/j.cam.2005.06.046.
11. Dobrogowska, A. and Odzijewicz, A. Second Order \(q\)-Difference
Equations Solvable by Factorization Method,
Journal of Computational and Applied Mathematics,
2006, vol. 193, no. 1, pp. 319-346. DOI: 10.1016/j.cam.2005.06.009.
12. Kwon, K. H., Lee, D. W., Park, S. B. and Yoo, B. H.
Hahn Class Orthogonal Polynomials, Kyungpook Mathematical Journal,
1998, vol. 38, pp. 259-281.
13. Lesky, P. A. Eine Charakterisierung der klassischen
kontinuierlichen-, diskreten- und \(q\)-Orthogonalpolynome,
Aachen, Shaker, 2005.
14. Petronilho, J. Generic Formulas for the Values at the Singular
Points of Some Special Monic Classical \(H_{q,\omega}\)-Orthogonal
Polynomials, Journal of Computational and Applied Mathematics,
2007, vol. 205, no. 1, pp. 314-324. DOI: 10.1016/j.cam.2006.05.005.
15. Hamza, A. E. and Ahmed, S. A. Existence and Uniqueness of Solutions
of Hahn Difference Equations, Advances in Difference Equations, 2013,
vol. 316, no. 1, pp. 1-15. DOI: 10.1186/1687-1847-2013-316.
16. Hamza, A. E. and Ahmed, S. A. Theory of Linear Hahn Difference Equations,
Journal of Advances in Mathematics, 2013, vol. 4, no. 2, pp. 440-460.
17. Hamza, A. E. and Makharesh, S. D. Leibnizs Rule and Fubinis Theorem Associated
with Hahn Difference Operator, Journal of Advanced Mathematical, 2016, vol. 12, no. 6, pp. 6335-6345.
DOI: 10.24297/jam.v12i6.3836.
18. Sitthiwirattham, T. On a Nonlocal Bundary Value Problem for
Nonlinear Second-Order Hahn Difference Equation with two Different \(q,\omega\)-Derivatives,
Advances in Difference Equations, 2016, vol. 2016, no. 1, article no. 116.
DOI: 10.1186/s13662-016-0842-2.
19. Annaby, M. H., Hamza, A. E. and Makharesh, S. D., A Sturm-Liouville Theory
for Hahn Difference Operator, Frontiers of Orthogonal Polynomials and \(q\)-Series,
Singapore, World Scientific, 2018, pp. 35-84. DOI: 10.1142/9789813228887_0004.
20. Annaby, M. H., Hamza, A. E. and Aldwoah, K. A. Hahn Difference Operator
and Associated Jackson-Norlund Integrals, Journal of Optimization Theory and Applications,
2012, vol. 154, no. 1, pp. 133-153. DOI: 10.1007/s10957-012-9987-7.
21. Knopp, K. Elements of the Theory of Functions, New York, Dover, 1952.
