Мажорируемые операторы
Кусраев А. Г.

В основе понятия мажорируемого или доминируемого оператора лежит простая идея, восходящая, по крайней мере, к методу мажорант Коши. Грубо говоря, ее можно выразить следующим образом: если рассматриваемый оператор (уравнение) мажорируется другим оператором (уравнением), называемым мажорантой или доминантой, то свойства последнего существенно влияют на свойства первого. Таким образом, оператор с квалифицированной мажорантой сам имеет определенную квалификацию. Иными словами, оператор (или уравнение) с "хорошей" мажорантой, должен обладать "хорошими" свойствами. Математический аппарат, в рамках которого идея мажорирования принимает естественную и законченную форму, был предложен в середине 1930-х годов Л. В. Канторовичем. Он ввел фундаментальные понятия векторного пространства, нормированного элементами векторной решетки, и линейного оператора в таких пространствах, мажорируемого линейным положительным или сублинейным возрастающим оператором. Он также применил эти понятия к вопросам разрешимости функциональных уравнений.

В последующие годы многие авторы изучали различные частные случаи ре-шеточно нормированных пространств и классы мажорируемых операторов. Однако эти исследования проводились в рамках и в духе теории векторных и нормированных решеток. Без преувеличения можно сказать, что мажорируемые операторы как самостоятельный объект исследования на полвека выпали из поля зрения специалистов. Вследствие этого важнейшие структурные свойства мажорируемых операторов были получены лишь недавно.

В начале 80-х годов в теории векторных решеток произошли определенные качественные изменения. Возникли новые методы исследования, область приложений существенно расширилась и обогатилась. Принципиально новые идеи проникли из других разделов математики. Все это привело к возможности углубленного изучения мажорируемых операторов и формированию самостоятельной теории мажорируемых операторов. Цель настоящей книги - изложить основные результаты о строении мажорируемых операторов, полученные в последние двадцать лет, и продемонстрировать определенную зрелость теории.

Книга состоит из восьми глав и приложения. Первая глава содержит свод необходимых для дальнейшего изложения результатов из теории булевых алгебр, теории векторных и нормированных решеток. Она фиксирует также принятые в книге терминологию и символику.

Во второй главе изучаются структурные свойства пространств, снабженных нормой со значениями в векторной решетке. Показано, что такой квалификацией обладает большое количество функциональных пространств, естественным образом возникающих в функциональном анализе. Подробно рассматриваются вопросы пополнения и расширения таких пространств, а также представления их посредством непрерывных банаховых расслоений и измеримых банаховых расслоений.

Третья глава посвящена положительным операторам. Содержание главы большей частью традиционно и хорошо освещено в монографической литературе. Тем не менее, сюда включены некоторые сравнительно новые результаты об осколках положительных операторов, о продолжении положительного оператора с массивной под решетки, об экстремальной структуре множества положительных операторов, о расширении произвольного положительного оператора по схеме построения интеграла Лебега и др.

В четвертой главе изучаются общие мажорируемые операторы. Мажорируемый оператор имеет точную (т. е. наименьшую) мажоранту при достаточно слабых предположениях. Сопоставив каждому мажорируемому оператору его точную мажоранту, получают векторную норму в пространстве мажорируемых операторов со значениями в векторной решетке регулярных операторов. Центральный результат главы утверждает разложимость этого решеточно нормированного пространства. Подробно рассматривается вопрос о продолжении по непрерывности мажорируемых операторов.

В пятой главе речь идет об операторах, сохраняющих дизъюнктность. Основное внимание сосредоточено на вопросах порядковой ограниченности, разложимости и мультипликативной представимости таких операторов. Рассмотрен также двойственный класс разложимых операторов и даны результаты об аналитическом представлении операторов из этого класса.

Шестая глава посвящена мажорируемым операторам, общей чертой которых является интегральная представимость. Попутно изучаются структурные свойства мер со значениями в решеточно нормированных пространствах. Рассматриваются также классические интегральные и псевдоинтегральные операторы и устанавливается, что мажорируемые операторы с мажорантами из этих классов допускают интегральное и псевдоинтегральное представление соответственно. Приведены различные теоремы об общем виде мажорируемых операторов того или иного класса.

Различные классы операторов, изучаемых в функциональном анализе, часто определяются в смешанных терминах нормы и порядка. Эта тема развивается в седьмой главе, в которой вводятся некоторые новые классы пространств и операторов. В частности, рассмотрены естественные аналоги гильбертовых пространств и С*-алгебр в рамках теории решеточно нормированных пространств. Обсуждается также проблема изометрической классификации пространств со смешанной нормой.

Восьмая глава посвящена булевозначному анализу векторных решеток, решеточно нормированных пространств, мажорируемых операторов и операторных алгебр. Отправной точкой служит утверждение о том, что поле действительных чисел в булевозначной модели определенным образом порождает расширенное пространство Канторовича. Тем самым, значительная часть общей теории векторных решеток непосредственно выводится путем интерпретации свойств обычных чисел внутри соответствующей булевозначной модели. Здесь представлен также булевозначный подход к более продвинутым разделам функционального анализа. Аппарат булевозначных моделей теории множеств, используемый в этой части, коротко излагается в Приложении.

Разнообразие тем и результатов, включенных в книгу, определило особенности изложения. Сведения, имеющиеся в доступных изданиях, часто приведены без доказательств. Предполагается, что читатель знаком с основами теории векторных решеток и положительных операторов. Вместе с тем, все основные результаты снабжены полными и подробными доказательствами. Каждая глава снабжена комментариями, в которых содержатся как исторические справки и приоритетные литературные ссылки, так и некоторые дополнительные сведения и указания на смежные направления исследований.