Аннотация: В настоящее время исследования существования глобальных классических решений нелинейных эволюционных уравнений являются предметом активных математических исследований. В этой статье нас интересует классическая система уравнений мелкой воды, описывающая длинные поверхностные волны в жидкости переменной глубины. Эта система была предложена в 1871 г. Адмаром Жан-Клодом Барром де Сен-Венаном. А именно, мы исследуем начальную задачу для одномерных уравнений Сен-Венана. Нас особенно интересует вопрос, при каких достаточных условиях должны верифицироваться начальные данные и топография дна, чтобы рассматриваемая система имела глобальные классические решения. Для доказательства наших основных результатов мы используем новый топологический подход, основанный на абстрактной теории суммы двух операторов в банаховых пространствах с фиксированной точкой. Эта основная и новая идея приводит к глобальным теоремам существования для многих интересных уравнений математической физики.
Образец цитирования: Azib, R., Georgiev, S., Kheloufi, A. and Mebarki, K. Existence of Global Classical Solutions for the Saint-Venant Equations // Владикавк. мат. журн. 2022. Т. 24, № 3. C. 21-36 (in English). DOI 10.46698/x4972-4013-9236-n
1. Saint-Venant, A. J. C. The orie du mouvement non-permanent des eaux, avec application aux crues des rivie res et а l'introduction des mare es dans leur lit, Comptes rendus de l'Acade mie des Sciences de Paris, 1871, vol. 73, pp. 147-154.
2. Baklanovskaya, V. F. and Chechel', I. I. A Numerical Method for Solving St. Venant's Equations (Chamber Model), USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1976, vol. 16, no. 5, pp. 125-141. DOI: 10.1016/0041-5553(76)90143-9.
3. Alcrudo, F. and Garcia-Navarro, P. A High-Resolution Godunov-Type Scheme in Finite Volumes for the 2D Shallow-Water Equations, International Journal for Numerical Methods in Fluids 1993, vol. 16, no. 6, pp. 489-505. DOI: 10.1002/fld.1650160604.
4. Garcia-Navarro, P., Alcrudo, F. and Saviro n, J. M. 1-D Open-Channel Flow Simulation Using TVD-McCormack Scheme, Journal of Hydraulic Engineering, 1992, vol. 118, no. 10, pp. 1359-1372. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9429(1992)118:10(1359).
5. Lien, F.-S. A Pressure-Based Unstructured Grid Method for All-Speed Flows, International Journal for Numerical Methods in Fluids, 2000, vol. 33, no. 3, pp. 355-374. DOI: 10.1002/1097-0363(20000615)33:3<355::AID-FLD12>3.0.CO;2-X.
6. Nguyen, D. K., Shi, Y.-E., Wang, S. S. and Nguyen, T. H. 2D Shallow-Water Model Using Unstructured Finite-Volumes Methods, Journal of Hydraulic Engineering, 2006, vol. 132, no. 3, pp. 258-269. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9429(2006)132:3(258).
7. Zarmehi, F., Tavakoli, A. and Rahimpour, M. On Numerical Stabilization in the Solution of Saint-Venant Equations Using the Finite Element Method, Computers and Mathematics with Applications, 2011, vol. 62, no. 4, pp. 1957-1968. DOI: 10.1016/j.camwa.2011.06.039.
8. Baklanovskaya, V. F., Paltsev, B. V. and Chechel, I. I. Boundary Value Problems for the St. Venant System of Equations on a Plane, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1979, vol. 19, no. 3, pp. 157-174. DOI: 10.1016/0041-5553(79)90137-X.
9. Ton, B. A. Existence and Uniqueness of a Classical Solution of an Initial Boundary Value Problem of the Theory of Shallow Waters, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 1981, vol. 12, no. 2, pp. 229-241. DOI: 10.1137/0512022.
10. Kloeden, P. E. Global Existence of Classical Solutions in the Dissipative Shallow Water Equations, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 1985, vol. 16, no. 2, pp. 301-315. DOI: 10.1137/0516022.
11. Lai, H. V., Long, L. M. and Trung, M. D. On Uniqueness of a Classical Solution of the System of Non-Linear 1-D Saint Venant Equations, Vietnam Journal of Mechanics, NCST of Vietnam, 1999, vol. 21, no. 4, pp. 231-238. DOI: 10.15625/0866-7136/10004.
12. Muzaev, I. D. and Tuaeva, Zh. D. Two Methods for Solving an Initial-Boundary Value Problem for a System of Saint-Venant Equations, Vladikavkaz. Math. J., 1999, vol. 1, no. 1, pp. 43-47 (in Russian).
13. Li, Y., Pan, R. and Zhu, S. On Classical Solutions to 2D Shallow Water Equations with Degenerate Viscosities, Journal of Mathematical Fluid Mechanics, 2017, vol. 19, no. 1, pp. 151-190. DOI: 10.1007/s00021-016-0276-3.
14. Cheng, B. and Tadmor, E. Long-Time Existence of Smooth Solutions for the Rapidly Rotating Shallow-Water and Euler Equations, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2008, vol. 39, no. 5, pp. 1668-1685. DOI: 10.1137/070693643.
15. Cheng, B. and Xie, C. On the Classical Solutions of Two Dimensional Inviscid Rotating Shallow Water System, Journal of Differential Equations, 2011, vol. 250, no. 2, pp. 690-709. DOI: 10.1016/j.jde.2010.09.017.
16. Duan, B., Luo, Z. and Zheng, Y. Local Existence of Classical Solutions to Shallow Water Equations with Cauchy-Data Containing Vacuum, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2012, vol. 44, no. 2, pp. 541-567. DOI: 10.1137/100817887.
17. Liu, J.-G., Pego, R. L. and Pu, Y. Well-Posedness and Derivative Blow-Up for a Dispersionless Regularized Shallow Water System, Nonlinearity, 2019, vol. 32, no. 11, pp. 4346-4376. DOI: 10.1088/1361-6544/ab2cf1.
18. Alekseenko, S. N., Dontsova, M. V. and Pelinovsky, D. E. Global Solutions to the Shallow Water System with a Method of an Additional Argument, Applicable Analysis, 2017, vol. 96, no. 9, pp. 1444-1465. DOI: 10.1080/00036811.2016.1208817.
19. Yang, Y. Global Classical Solutions to Two-Dimensional Chemotaxis-Shallow Water System, Discrete and Continuous Dynamical Systems -- B, 2021, vol. 26, no. 5, pp. 2625-2643. DOI: 10.3934/dcdsb.2020198.
20. Licht, C. C., Ha, T. T. and Vu, Q. P. On Some Linearized Problems of Shallow Water Flows, Differential and Integral Equations, 2009, vol. 22, no. 3-4, pp. 275-283.
21. Georgiev, S. G. and Zennir, K. Existence of Solutions for a Class of Nonlinear Impulsive Wave
Equations, Ricerche di Matematica, 2022, vol. 71, no. 1, pp. 211-225. DOI: 10.1007/s11587-021-00649-2.
22. Djebali, S. and Mebarki, K. Fixed Point Index Theory for Perturbation of Expansive Mappings by \(k\)-Set Contractions, Topological Methods Nonlinear Analysis 2019, vol. 54, no. 2A, pp. 613-640. DOI: 10.12775/TMNA.2019.055.
23. Polyanin, A. and Manzhirov, A. Handbook of Integral Equations, CRC Press, 1998, pp. 796.
