Аннотация: Статья посвящена численному решению нелинейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Рассматриваемое уравнение имеет специальное ядро в том смысле, что представляет собой произведения двух частей: слабо сингулярной части, не зависящей от решения, и нелинейной дифференцируемой по Фреше части, зависящей от решения. Приближенное решение, предложенное в статье, определяется как итерационная последовательность типа Ньютона - Канторовича. При этом используются три численных метода: метод Ньютона - Канторовича для линеаризации задачи, метод регуляризации с конволюцией и разложением в ряд Фурье. Это необходимо, чтобы получить конечную последовательность, и "Hat functions projection" для работы с нелинейным членом, возникающим в конструкции Ньютона - Канторовича. Доказано, что такая специальная последовательность типа Ньютона - Канторовича сходится к точному решению. Кроме того, приведен численный пример, демонстрирующий практическую эффективность численного метода и подтверждающий точность теоретических результатов.
Ключевые слова: интегральное уравнение Фредгольма, нелинейное уравнение, метод типа Ньютона, производная Фреше, слабая сингулярность
Образец цитирования: Геббай Х., Гиат М., Мерчела В., Сегни С., Степаненко Е. В. Приближенное решение нелинейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода // Владикавк. мат. журн. 2023. Т. 25, вып. 1. С. 33-47.
DOI 10.46698/s7895-5601-5395-f
1. Chandrasekhar S. Radiative Transfer. N.Y.: Dover Publ., 1960. 393 p.
2. Ahues M., d'Almeida F. D., Fernandes R. R. Piecewise constant Galerkin approximations
of wealkly singular integral equations // Int. J. Pure Appl. Math. 2009. Vol. 4. P. 569-580.
3. Amosov A. A., Youssef Y. E. Error estimates of projection type methods
for solving weakly singular integral equations // J. Math. Sci. 2016. Vol. 216. P. 182-218.
DOI: 10.1007/s10958-016-2895-x.
4. Atkinson K., Han W. Theoretical Numerical Analysis: a Functional
Analysis Framework. N.Y.: Springer, 2001. Vol. 216. P. 342-404.
5. Debbar R., Guebbai H., Zereg Z. Improving the convergence order
of the regularization method for Fredholm integral equations of the second kind //
Appl. Math. Comput. 2016. Vol. 289. P. 204-213. DOI: 10.1016/j.amc.2016.05.018.
6. Guebbai H., Grammont L. A new degenerate kernel method for a weakly singular
integral equation // Appl. Math. Comput. 2014. Vol. 230. P. 414-427.
DOI: 10.1016/j.amc.2013.12.102.
7. Benrabia N., Guebbai H. On the regularization method for Fredholm
integral equations with odd weakly singular kernel //
Comp. Appl. Math. 2018. Vol. 37. P. 5162-5174.
DOI: 10.1007/s40314-018-0625-3.
8. Lemita S., Guebbai H., Sedka I., Aissaoui M. Z. New Method for the Numerical
Solution of the Fredholm Linear Integral Equation
on a Large Interval // Вестн. российских ун-тов. Математика. 2020. Т. 25,
№ 132. С. 387-400. DOI: 10.20310/2686-9667-2020-25-132-387-400.
9. Guebbai H. Regularization and Fourier Series for Fredholm Integral Equations of the Second
Kind with a Weakly Singular Kernel // Numer. Funct. Anal. Optim. 2017. Vol. 39, № 1. P. 1-10. DOI: 10.1080/01630563.2017.1364753.
10. Ahues A., Largillier A., Titaud O. The roles of a weak singularity and the grid uniformity
in relative error bounds // Numer. Funct. Anal. Optim. 2001. Vol. 22, № 7-8. P. 789-814.
DOI: 10.1081/NFA-100108309.
11. Amosov A., Ahues M., Largillier A. Superconvergence of some projection approximations
for weakly singular integral equations using general grids //
SIAM J. Numer. Anal. 2009. Vol. 47, № 1. С. 646-674. DOI: 10.1137/070685464.
12. Dung V. T., Ha Q. T. Approximate solution for integral equations involving
linear Toeplitz plus Hankel parts // Comp. Appl. Math. 2021. Vol. 40. Article № 172.
DOI: 10.1007/s40314-021-01558-8.
13. Assari P., Dehghan M. On the numerical solution of nonlinear integral
equations on non-rectangular domains utilizing thin plate spline collocation method //
Proc. Math. Sci. 2019. Vol. 129. Article № 83. DOI:
10.1007/s12044-019-0511-y.
14. Jain S., Jain S. Fuzzy generalized weak contraction and its application
to Fredholm non-linear integral equation in fuzzy metric space //
J. Anal. 2021. Vol. 29. P. 619-632. DOI: 10.1007/s41478-020-00270-w.
15. Chapko R., Mindrinos L. On the non-linear integral equation approach for an inverse
boundary value problem for the heat equation // J. Eng. Math. 2019. Vol. 119. P. 255-268.
DOI: 10.1007/s10665-019-10028-4.
16. Lalli F., Campana E., Bulgarelli U. A Numerical Solution of II Kind Fredholm
Equations: A Naval Hydrodynamics Application // Boundary Integral Methods /
Eds. Morino, L., Piva, R. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1991. P. 320-327.
DOI: 10.1007/978-3-642-85463-7_31.
17. Evans L. C. Partial Differential Equations. American Mathematical Society,
1998. (Graduate Studies in Mathematics, Vol. 19.)
18. Linz P. Analytical and Numerical Methods for Volterra Equations. Philadelphia: SIAM, 1985.
DOI: 10.1137/1.9781611970852.
19. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 750 с.
20. Bounaya M. C., Lemita S., Ghiat M., Aissaoui M. Z. On a nonlinear integro-differential equation of Fredholm type //
International Journal of Computing Science and Mathematics. 2021. Vol. 13, № 2. P. 194-205.
DOI: 10.1504/IJCSM.2021.114188.
21. Ahues M. Newton methods with Holder derivative //
Numer. Func. Anal. Opt. 2004. Vol. 25, № 5-6. P. 379-395.
DOI: 10.1081/NFA-200042171.
22. Alturk A. Numerical solution of linear and nonlinear Fredholm integral
equations by using weighted mean-value theorem // SpringerPlus. 2016. Vol. 5. Article № 1962. DOI:
10.1186/s40064-016-3645-8.
23. Hammad D. A., Semary Mourad S., Khattab Ahmed G. Ten non-polynomial cubic splines
for some classes of Fredholm integral equations // Ain Shams Eng. J. 2022. Vol. 13,
№ 4. Article № 101666. DOI: 10.1016/j.asej.2021.101666.
24. Maleknejad K., Karami M. Numerical solution of non-linear Fredholm integral
equations by using multiwavelets in the Petrov-Galerkin method //
Appl. Math. Comp. 2005. Vol. 168, № 1. P. 102-110. DOI:
10.1016/j.amc.2004.08.047.
25. Ghiat M., Guebbai H., Kurulay M., Segni S. On the weakly singular
integro-differential nonlinear Volterra equation depending in acceleration term //
Comp. Appl. Math. 2020. Vol. 39. Article № 206.
DOI: 10.1007/s40314-020-01235-2.
26. Ghiat M., Guebbai H. Analytical and numerical study for an integro-differential nonlinear
volterra equation with weakly singular kernel // Comp. Appl. Math. 2018. Vol. 37. P. 4661-4674.
DOI: 10.1007/s40314-018-0597-3.
27. Гиат М., Камуш С., Хеллаф А., Мерчела В. Об одной системе интегральных
уравнений Вольтерра со слабо сингулярным ядром // Итоги науки и техн. Сер.
Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 2021. Т. 193. С. 33-44.
DOI: 10.36535/0233-6723-2021-193-33-44.
28. Ahues A., Largillier A., Limaye B. V. Spectral Computations
for Bounded Operators. Chapman and Hall/CRC: Boca Raton, 2001.
