Единственность симметричной структуры в идеалах компактных операторов

		ISSN печатной версии 1683-3414 • ISSN он-лайн версии 1814-0807

			Войти

Главная Редколлегия Публикационная этика Рецензирование Свежий номер Архив Правила для авторов Работа с электронной редакцией Подать статью Контакты Адрес: Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53 Тел.: (8672)23-00-54 E-mail: rio@smath.ru	Уважаемые авторы, просим обратить внимание! Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции. DOI: 10.23671/VNC.2018.1.11394 Единственность симметричной структуры в идеалах компактных операторов Аминов Б. Р. , Чилин В. И. Владикавказский математический журнал. 2018. Том 20. Выпуск 1.С.30-37. Аннотация: Пусть \(H\) - сепарабельное бесконечномерное комплексное гильбертово пространство, \(\mathcal L(H)\) - \(C^\)-ал\-геб\-ра ограниченных линейных операторов, действующих в \(H\), \(\mathcal K(H)\) - двусторонний идеал в \(\mathcal L(H)\) всех компактных операторов. Пусть \((E, \\|\cdot\\|_E)\) - симметричное пространство последовательностей, \(\mathcal{C}_E:=\{ x \in \mathcal K(\mathcal H) : \{s_n(x)\}_{n=1}^\infty \in E\}\) - собственный двусторонний идеал в \(\mathcal L(H)\), порожденный \((E, \\|\cdot\\|_E)\), где \(\{s_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\) сингулярные числа компактного оператора \(x\). Известно, что \(\mathcal{C}_E\) - банахов симметричный идеал относительно нормы \( \\|x\\|_{\mathcal C_E}=\\|\{s_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\\|_E\). Говорят, что симметричный идеал \(\mathcal{C}_E\) имеет единственную симметричную структуру, если наличие изоморфизма из \((\mathcal{C}_E, \\|\cdot\\|_{\mathcal{C}_E})\) на другой симметричный идеал \((\mathcal{C}_F, \\|\cdot\\|_{\mathcal{C}_F})\) обязательно влечет равенство \(\mathcal{C}_E = \mathcal{C}_F\), т. е. \(E = F\), с точностью до эквивалентных норм. На международной конференции по теории банаховых пространств и их приложений (Kent, Ohio, August 1979), А. Пельчинский поставил следующую проблему: (P): Каждый ли симметричный идеал имеет единственную симметричную структуру? Эта проблема получила положительное решение в работе J. Arazy и J. Lindenstrauss (1975) для идеалов Шаттена \(\mathcal{C}_p\), \(1\leq p < \infty\). В случае произвольных симметричных идеалов проблема (P) до сих пор не решена. Мы рассматриваем вариант проблемы (P), заменяя наличие изоморфизма \(U:(\mathcal{C}_E, \\|\cdot\\|_{\mathcal{C}_E}) \to (\mathcal{C}_F, \\|\cdot\\|_{\mathcal{C}_F})\) на существование положительной линейной сюръективной изометрии. Мы показываем, что в случае строго симметричного пространства последовательностей \(F\), каждая положительная линейная сюръективная изометрия \(U:(\mathcal{C}_E, \\|\cdot\\|_{\mathcal{C}_E}) \to (\mathcal{C}_F, \\|\cdot\\|_{\mathcal{C}_F})\) имеет следующий вид: \(U(x) = u^xu\) для всех \(x \in \mathcal C_E\), где \(u \in \mathcal L(H)\) есть унитарный или антиунитарный оператор. Используя это описание положительных линейных сюръективных изометрий, доказывается, что наличие такой изометрии \(U:\mathcal{C}_E \to \mathcal{C}_F\) влечет равенство \((E,\\|\cdot\\|_E)=(F, \\|\cdot\\|_F)\). Ключевые слова: симметричный идеал компактных операторов, единственность симметричной структуры, положительная изометрия Язык статьи: Английский Загрузить полный текст Образец цитирования: Aminov B. R., Chilin V. I. The uniqueness of the symmetric structure in ideals of compact operators // Владикавк. мат. журн. 2018. Том 20, вып. 1. С. 30-37. DOI 10.23671/VNC.2018.1.11394 + Список литературы 1. Abramovich Yu. A. Isometries of norm latties // Convex Anal. and Related Problems. 1988. Vol. 43 (60). P. 74-80 (in Russian). 2. Aminov B. R., Chilin V. I. Isometries of perfect norm ideals of compact operators // Studia Math. 2018. Vol. 241 (1). P. 87-99. DOI: 10.4064/sm170306-19-4. 3. Arazy J., Lindenstrauss J. Some linear topological properties of the spaces \(C_p\) of operators on Hilbert space // Composite Math. 1975. Vol. 30. P. 81-111. DOI: 10.1016/0022-1236(81)90052-5. 4. Arazy J. Basic sequences, embeddings, and the uniqueness of the symmetric structure in unitary matrix spaces // J. Func. Anal. 1981. Vol. 40. P. 302-340. 5. Bennet C., Sharpley R. Interpolation of Operators. Acad. Press, INC, 1988. 483 p. 6. Bratteli O., Robinson D. W. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechaniks. N. Y.-Heidelber-Berlin: Springer-Verlag, 1979. 7. Carothers N., Dilworth S. Subspaces of \(L_{p,q}\) // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 104, № 2. P. 537-545. 8. Chilin V. I., Medzhitov A. M., and Sukochev F. A. Isometries of non-commutative Lorentz spaces // Math. Z. 1989. Vol. 200. P. 527-545. 9. Chilin V., Krygin A., and Sukochev F. Extreme points of convex fully symmetric sets of measurable operators // Integr. Equat. Oper. Theory. 1992. Vol. 15. P. 186-226. 10. Chilin V. I., Sadovskaya O. V. Isomorphic classification of spaces of Lorentz sequences // Uzbek Math. J. 2017. № 3. P. 169-173 (in Russian). 11. Dodds P. G., Dodds T. K., and Pagter B. Noncommutative Kothe duality // Trans. Amer. Math. Soc. 1993. Vol. 339 (2). P. 717-750. DOI: 10.2307/2154295. 12. Gohberg I. C., Krein M. G. Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1969. (Translations of Math. Monographs; Vol. 18). 13. Lewis D. R. An isomorphic characterization of the Schmidt class // Composito Mathematica. 1975. Vol. 30 (3). P. 293-297. 14. Lord S., Sukochev F., and Zanin D. Singular Traces. Theory and Applications. Berlin/Boston: Walter de Gruyter GmbH, 2013. 15. Simon B. Trace Ideals and their Applications / 2nd ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005. (Math. Surveys and Monographs; Vol. 120). 16. Sourour A. Isometries of norm ideals of compact operators // J. Funct. Anal. 1981. Vol. 43. P. 69-77. DOI: 10.1016/0022-1236(81)90038-0. ← Содержание выпуска


	\| Главная \| Редколлегия \| Публикационная этика \| Рецензирование \| Свежий номер \| Архив \| Правила для авторов \| Работа с электронной редакцией \| Подать статью \|
	© 1999-2024 Южный математический институт