1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

О кратных нулях одной целой функции, важной для теории обратных задач

On Multiple Zeros of One Entire Function which Is of Interest for the Theory of Inverse Problems

10.46698/x2987-6171-9353-j

15753

03 2025

27 1 5 21

https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=15753&SECTION_ID=618

Алмохамед

М.

Almohamed

mssrmtz@gmail.com

Тихонов

И. В.

Tikhonov

I. V.

ivtikh@mail.ru

Шерстюков

В. Б.

Sherstyukov

V. B.

shervb73@gmail.com

Московский технический университет связи и информатики, РОССИЯ, Москва, 111024, ул. Авиамоторная, 8а Moscow Technical University of Communications and Informatics, 8a Aviamotornaya St., Moscow 111024, Russia

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, РОССИЯ, 119991, Москва, Ленинские горы, 1 Lomonosov Moscow State University, 1 Leninskie gory, Moscow 119991, Russia

<div> Исследуется характер нулей одной целой функции, возникшей в теории линейных обратных задач для дифференциальных уравнений второго порядка. Функция является трансцендентной, элементарной, нецелого порядка \(\rho=1/2\). Она простым образом зависит от комплексного параметра \(\hskip1pt p\). Спрашивается, возможны ли значения \(p\), при которых функция имеет кратные нули? В работе найден полный ответ на поставленный вопрос и показано, что существует счетное множество значений \(p=p_n\in\mathbb{C}\setminus\{0\}\), при каждом из которых изучаемая целая функция помимо бесконечного числа простых нулей имеет в точности один нуль кратности два. Дано описание как самого множества таких значений \(p_n\), так и соответствующих кратных нулей. Итоговый результат выражен в терминах корней трансцендентного уравнения \( sh z=z\), анализу которого посвящен заключительный раздел работы. Здесь анонсированы новые "неасимптотические" оценки, применимые ко всем корням уравнения в области \(z\ne 0\) и дающие для этих корней весьма точные зоны локализации. Численные расчеты подтверждают наши аналитические выводы. Имеются полезные связи с теорией распределения нулей целых функций типа Миттаг-Леффлера и с некоторыми спектральными задачами из математической физики. </div>

We consider complex zeros of one entire function from the theory of linear inverse problems for second-order differential equations. This function of order \(\rho=1/2 \) is elementary, transcendental, and depends in a simple way on a complex parameter \( p\in\mathbb{C}\setminus\{0\}\). It is required to find out whether there are values of \(p\) for which the function has multiple zeros. The question posed has been fully answered. It is shown that there exists a countable set of values \(p=p_n\), for each of which the entire function has not only an infinite number of simple zeros, but also one zero of multiplicity two. A description is given of both the set of such values \(p_n\) and the corresponding multiple zeros. Our main result is expressed in terms of roots of the transcendental equation \( sh z=z\), the analysis of which is the subject of the final section of the paper. Here we announce new non-asymptotic estimates, applicable to all roots of the equation in the domain \(z\ne 0\) and giving very precise localization for them. Numerical calculations confirm our analytical conclusions. There are useful connections with the theory of Mittag-Leffler functions and some spectral problems from mathematical physics.

целые функции гиперболические функции распределение нулей кратные нули трансцендентные уравнения обратные задачи для дифференциальных уравнений

entire functions hyperbolic functions distribution of zeros multiple zeros transcendental equations inverse problems for differential equations

Тихонов И. В., Алмохамед М. Обратная задача с переопределением третьего рода для абстрактного дифференциального уравнения второго порядка // Диф. уравнения. 2022. Т. 58, № 7. С. 890-911. DOI: 10.31857/S0374064122070032.

Tikhonov, I. V. and Almohamed, M. Inverse Problem with Overdetermination of the Third Kind for an Abstract Second-Order Differential Equation, Differential Equations, 2022, vol. 58, no. 7, pp. 877-898. DOI: 10.1134/S0012266122070035.

Алмохамед М., Тихонов И. В. Примеры присоединенных решений в линейных обратных задачах // Челябинский физ.-мат. журн. 2022. Т. 7, № 4. С. 395-411. DOI: 0.47475/2500-0101-2022-17401.

Almohamed, M. and Tikhonov, I. V. Examples of Generalized Elementary Solutions in Linear Inverse Problems, Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal, 2022, vol. 7, no. 4, pp. 395-411 (in Russian). DOI: 10.47475/2500-0101-2022-17401.

Алмохамед М., Тихонов И. В. О некоторых спектральных исследованиях, связанных с теорией обратных задач // Современные проблемы теории функций и их приложения: матер. 21-й междунар. Саратов. зимней шк. Саратов: СГУ, 2022. C. 20-26.

Almohamed, M. and Tikhonov, I. V. On Some Spectral Studies Related to Inverse Problem Theory, Sovremennye Problemy Teorii Funktsiy i Ikh Prilozheniya: Materialy 21-y Mezhdunarodnoy Saratovskoy Zimney Shkoly, 2022, pp. 20-26 (in Russian).

Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Алмохамед М. О некоторых трансцендентных уравнениях, важных для математической физики // Современные проблемы теории функций и их приложения: матер. 21-й междунар. Саратов. зимней шк. Саратов: СГУ, 2022. С. 294-299.

Tikhonov, I. V., Sherstyukov, V. B. and Almohamed, M. On Some Tanscendental Equations that Matter for Mathematical Physics, Sovremennye Problemy Teorii Funktsiy i Ikh Prilozheniya: Materialy 21-y Mezhdunarodnoy Saratovskoy Zimney Shkoly, 2022, pp. 294-299 (in Russian).

Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.

Dzhrbashyan, M. M. Integralnyye preobrazovaniya i predstavleniya funktsiy v komleksnoy oblasti [Integral Transforms and Representations of Functions in Complex Domain], Moscow, Nauka, 1966, 672 p. (in Russian).

Попов А. Ю., Седлецкий А. М. Распределение корней функций Миттаг-Леффлера // Соврем. математика. Фундам. направления. 2011. Т. 40. С. 3-171.

Popov, A. Yu. and Sedletskii, A. M. Distribution of Roots of Mittag-Leffler Functions, Journal of Mathematical Sciences, 2013, vol. 190, no. 2, pp. 209-409. DOI: 10.1007/s10958-013-1255-3.

Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956. 632 с. 8. Hardy G. H. On the zeroes of the integral function \(x-\sin x=\sum_{1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^{2n+1}/(2n+1)!\) // The Messenger of Mathematics. 1902. Vol. 31, № 11. P. 161-165. 9. Hillman A. P., Salzer H. E. Roots of \(\sin z=z\) // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. Ser. 7. 1943. Vol. 34, № 235. P. 575. DOI: 10.1080/14786444308521415. 10. Robbins C. I., Smith R. C. T. A table of roots of \(\sin z=-z\) // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. Ser. 7. 1948. Vol. 39, № 299. P. 1004-1005. DOI: 10.1080/14786444808521711. 11. Burniston E. E., Siewert C. E. Exact analytical solutions of the transcendental equation \(\alpha\sin\zeta=\zeta\) // SIAM J. Appl. Math. 1973. Vol. 24, № 4. P. 460-466. DOI: 10.1137/0124048. 12. Fettis H. E. Complex roots of \(\sin z=az\), \(\cos z=az\), \(\cosh z=az\) // Math. Comp. 1976. Vol. 30, № 135. P. 541-545. DOI: 10.1090/S0025-5718-1976-0418401-9. 13. Misici L. Numerical solutions of two transcendental equations // Math. Comp. 1984. Vol. 42, № 166. P. 589-595. DOI: 10.1090/S0025-5718-1984-0736454-X. 14. Hansen E. B. Root structure and numerical solution of the equation \(\sin z=cz\) // Appl. Math. Let. 1997. Vol. 10, № 2. P. 33-38. DOI: 10.1016/S0893-9659(97)00007-4. 15. Fadle J. Die Selbstspannungs-Eigenwertfunktionen der quadratischen Scheibe // Ingenieur-Archiv (Archive of Applied Mechanics). 1940. Vol. 11. P. 125-149. DOI: 10.1007/BF02084699. 16. Buchwald V. T. Eigenfunctions of plane elastostatics. I. The strip // Proc. Royal Soc. London. Ser. A. Math. Phys. Sci. 1964. Vol. 277, № 1370. P. 385-400. DOI: 10.1098/rspa.1964.0029. 17. Joseph D. D. The convergence of biorthogonal series for biharmonic and Stokes flow edge problems. Part I // SIAM J. Appl. Math. 1977. Vol. 33, №. 2. P. 337-347. DOI: 10.1137/0133021. 18. Katopodes F. V., Davis A. M. J., Stone H. A. Piston flow in a two-dimensional channel // Physics of Fluids. 2000. Vol. 12, № 5. P. 1240-1243. DOI: 10.1063/1.870373. 19. Barsan V. Algebraic approximations for transcendental equations with applications in nanophysics // Philosophical Magazine. 2015. Vol. 95, № 27. P. 3023-3038. DOI: 10.1080/14786435.2015.1081425. 20. Маркушевич А. И. Целые функции. Элементарный очерк. Изд. 2-е. М.: Наука, 1975. 120 с.

Levin, B. Ja. Distribution of Zeros of Entire Functions, Revised Edition, vol. 5, American Mathematical Society, 1980, xii+523 p.