1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

О типе Полиа целой функции

On the Polya Type of an Entire Function

10.46698/k4349-9424-9818-w

15759

03 2025

27 1 56 69

https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=15759&SECTION_ID=618

Малютин

К. Г.

Malyutin

K. G.

malyutinkg@gmail.com

Курский государственный университет, РОССИЯ, 305000, Курск, ул. Радищева, 33 Kursk State University, 33 Radishchev St., Kursk 305000, Russia

Пусть \(f\) - целая функция, \(M(r,f)=\max\nolimits_{|z|=r}|f(z)|\) - максимум модуля функции \(f\) в круге \(|z|\leq r\). В статье рассматриваются функции плотности максимума модуля функции \(f\), котоpые вычисляются по фоpмулам \(M(\alpha)=\varlimsup\nolimits_{r\to\infty}\frac{M(r+\alpha r,f)-M(r,f)}{r^{\rho(r)}},\ \underline M(\alpha)=\varliminf\nolimits_{r\to\infty}\frac{M(r+\alpha r,f)-M(r,f)}{r^{\rho(r)}},\quad\alpha\geq 0\,,\) где \(\rho(r)\) - уточненный порядок в смысле Валирона, \(\lim\nolimits_{r\to+\infty}\rho(r)=\varrho\geq 0\). Доказывается, что \(M(\alpha)\) и \(\underline M(\alpha)\) являются \(\varrho\)-полуаддитивными функциями. Вводится определение типа \(\sigma_p(f)\) и минимального типа \(\underline\sigma_p(f)\) в смысле Полиа функции \(f\) по формулам \(\sigma_p(f)=\lim\nolimits_{\alpha\to+0}\frac{M(\alpha)}{\alpha},\ \underline\sigma_p(f)=\lim\nolimits_{\alpha\to+0}\frac{\underline M(\alpha)}{\alpha}, \) которые дают большую информацию о поведении функции, чем ее тип и нижний тип в классическом смысле. Это определение является распространением понятий максимальной и минимальной плотности последовательности положительных чисел, введенных Полиа, который доказал их существование, если рост считающей функции последовательности чисел имеет нормальный тип относительно \(r\). Доказывается существование величин \(\sigma_p(f)\) и \(\underline\sigma_p(f)\), если рост \(\ln|f|\) имеет тип не выше чем нормальный относительно \(r^{\rho(r)}\) в классическом смысле, т. е. \(\ln M(r,f)\leq Kr^{\rho(r)}\) при некотором \(K>0\). Рассматриваются некоторые свойства функций \(M(\alpha)\) и \(\underline M(\alpha)\).

Let \(f\) be an entire function and let \(M(r,f)=\max\nolimits_{|z|=r}|f(z)|\) be maximum of the modulus of the function \(f\) in disk \(|z|\leq r\). The article considers the density functions of the maximum modulus of the function \(f\), which are calculated using the formulas \( M(\alpha)=\varlimsup\nolimits_{r\to\infty}\frac{M(r+\alpha r,f)-M(r,f)}{r^{\rho(r)}},\quad \underline M(\alpha)=\varliminf\nolimits_{r\to\infty}\frac{M(r+\alpha r,f)-M(r,f)}{r^{\rho(r)}},\quad\alpha\geq 0, \) where \(\rho(r)\) is proximate order in the sense of Valiron, \(\lim\nolimits_{r\to+\infty}\rho(r)=\varrho\geq0\). It is proved, that \(M(\alpha)\) and \(\underline M(\alpha)\) are \(\varrho\)-semi-additive functions. The definition of the type \(\sigma_p(f)\) and the minimum type \(\underline\sigma_p(f)\) in the sense of Polia of the function \(f\) is introduced by the formulas \(\sigma_p(f)=\lim\nolimits_{\alpha\to+0}\frac{M(\alpha)}{\alpha},\quad \underline\sigma_p(f)=\lim\nolimits_{\alpha\to+0}\frac{\underline M(\alpha)}{\alpha}. \) These quantities give more information about the behavior of the function than its type and lower type in the classical sense. This definition is an extension of the concepts of maximum and minimum density of a sequence of positive numbers introduced by Polya, who proved their existence if the growth of the counting function of a sequence of numbers has normal type with respect to \(r\). The existence of the quantities \(\sigma_p(f)\) and \(\underline\sigma_p(f)\) is proved if the growth \(\ln|f|\) has type not higher than normal type with respect to \(r^{\rho(r)}\) in the classical sense, i. e. \(\ln M(r,f)\leq Kr^{\rho(r)}\) for some \(K>0\). Some properties of functions \(M(\alpha)\) and \(\underline M(\alpha)\) are considered.

целая функция функция плотности полуаддитивная функция теорема Полиа максимальный тип минимальный тип

entire function density function semi-additive function Polya theorem maximum type minimum type

Polya G. Untersuchungen uber Lucken und Singularitaten von Potenzreihen // Math. Zeit. 1929. Vol. 29. P. 549-640.

Polya G. Untersuchungen uber Lucken und Singularitaten von Potenzreihen, Mathematische Zeitschrift, 1929, vol. 29, pp. 549-640.

Хилле Е. Р., Филлипс C. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Изд. иностp. лит-ры, 1962. 829 с.

Hille, E. and Phillips, R. S. Functional Analysis and Semi-Groups, Providence, R.I., American Mathematical Society, 1996, 808 p.

Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956. 632 c. 4. Seneta E. Regularly Varying Functions. Berlin-Heidelberg-N.Y.: Springer-Verlag, 1976. 112 p. 5. Bingham N. H. Regular Variation. N.Y.: Cambridge University Press, 1987. 491 p. 6. Hengartner W., Theodorescu R. Concentration functions. London: Academic Press, 1973. 139 p. 7. Гайсин А. М. Об одной гипотезе Полиа // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58, № 2. С. 73-92. 8. Шерстюков В. Б. Распределение нулей канонических произведений и весовой индекс конденсации // Матем. сб. 2015. Т. 206, № 9. С. 139-180. 9. Steinhaus H. Sur les distances des points de mesure positive // Fund. Math. 1949. Vol. 1. P. 93-104. 10. Кондратюк А. А. Целые функции с положительными нулями, имеющими конечную максимальную плотность // Респ. сб., "Теория функций, функциональный анализи их приложения". 1968. Т. 7. С. 37-52.

Levin, B. Ya. Distribution of Zeros of Entire Functions, Providence, R.I., American Mathematical Society, 1994, 523 p.