1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) Односторонние теоремы двойственности One-Sided Duality Theorems 10.46698/e7265-7012-8069-r 15768 03 2025 27 1 127 149 https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=15768&SECTION_ID=618 Шишкин А. Б. Shishkin A. B. shishkin-home@mail.ru Шишкин Б. А. Shishkin B. A. shishkinb13@gmail.com Кубанский государственный университет (филиал в Славянске-на-Кубани), РОССИЯ, 353560, Славянск-на-Кубани, ул. Кубанская, 200 Kuban State University, 200 Kuban St., Slavyansk-on-Kuban 353560, Russia ООО "ПРАЙ", РОССИЯ, 353563, Славянск-на-Кубани, ул. Строителей, 1 "PRAI" LLS, 1 Stroiteley St., Slavyansk-on-Kuban 353563, Russia Феномен двойственности присущ всем разделам математики и лежит в основе многих специальных теорем двойственности, утверждающих возможность двойственных переходов - переносов математических высказываний из одной области математики в другую. Все известные теоремы двойственности опираются на свойства специальных математических структур и носят двусторонний характер, то есть предполагают двойственные переходы в одну и другую стороны. Настоящая статья посвящена новому пониманию двойственных переходов как переходов от внутренних (соответственно внешних) описаний множеств к внешним (соответственно внутренним) описаниям двойственных им множеств. Особое внимание уделяется двойственным переходам в одну сторону - односторонним теоремам двойственности. При этом в основу абстрактных построений (односторонней теории двойственности) положено понятие дуальной схемы, в основе которого, в свою очередь, лежит понятие ослабленной инволюции - вполне изотонного отображения. При этом любое вполне изотонное отображение имеет условно обратное отображения, которое тоже является вполне изотонным. Авторы различают четыре дуальные схемы, каждая из которых играет свою строго определенную роль в вопросах внешнего и внутреннего описания множеств. Любая дуальная схема представляется как совокупность из двух диаграмм, связанных между собой взаимно обратными переходами к условно обратным отображениям. The phenomenon of duality is inherent in all sections of mathematics and underlies many special duality theorems that assert the possibility of dual transitions - transfers of mathematical statements from one area of mathematics to another. All known duality theorems are based on properties of special mathematical structures and are bilateral in nature, i.e. they assume dual transitions in one and other directions. The present paper is devoted to a new understanding of dual transitions as transitions from internal (respectively external) descriptions of sets to external (respectively internal) descriptions of sets dual to them. Special attention is paid to one-way dual transitions, one-way duality theorems. The abstract constructions (one-sided duality theory) are based on the notion of dual scheme, which, in turn, is based on the notion of weakened involution - a fully isotone mapping. In this case, any fully isotone mapping has a conditionally inverse mapping which is also fully isotone. The authors distinguish four dual schemes, each of which plays its strictly defined role in matters of external and internal description of sets. Any dual scheme is represented as a set of two diagrams connected by mutually inverse transitions to conditionally inverse mappings. двойственность интериоризация экстериоризация duality interiorization exteriorization 1 <i>Шишкин А. Б</i>. Экспоненциальный синтез в ядре оператора симметричной свертки // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2016. Т. 447. С. 129-170. Shishkin, A. B. Exponential Synthesis in the Kernel of a Symmetric Convolution, <i> Journal of Mathematical Sciences</i> (New York), 2018, vol. 229, no. 5, pp. 572-599. DOI: 10.1007/s10958-018-3700-9. 2 <i>Шишкин А. Б</i>. О непрерывных эндоморфизмах целых функций // Мат. сб. 2021. Т. 212, № 4. С. 131-158. DOI: 10.4213/sm9316. Shishkin, A. B. On Continuous Endomorphisms of Entire Functions, <i>Sbornik: Mathematics</i>, 2021, vol. 212, no. 4, pp. 567-591. DOI: 10.1070/SM9316. 3 <i>Шишкин А. Б</i>. Проективное и инъективное описания в комплексной области. Saarbrucken: Lambert Academic Publ. GmbH &amp; Co. KG, 2011. 309 с. Shishkin, A. B. <i>Proektivnoe i in'ektivnoe opisaniya v kompleksnoy oblasti</i> [Projective and Injective Descriptions in the Complex Domain], Saarbrucken, Lambert Academic Publishing GmbH &amp; Co. KG, 2011, 309 p. (in Russian). 4 <i>Шишкин А. Б</i>. Односторонние схемы двойственности // Владикавк. мат. журн. 2020. Т. 22, № 3. С. 124-150. DOI: 10.46698/i3178-1119-0009-t. Shishkin, A. B. One-Sided Dual Schemes, <i>Vladikavkaz Mathematical Journal</i>, 2020, vol. 22, no. 3,pp. 124-150 (in Russian). DOI: 10.46698/i3178-1119-0009-t.