1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

Распределения единственности для целых функций с равномерными ограничениями на их рост

Uniqueness Distributions for Entire Functions with Uniform Constraints on Their Growth

10.46698/v3523-1431-1350-j

15766

03 2025

27 1 112 126

https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=15766&SECTION_ID=620

Хабибуллин Б. Н.

Khabibullin

B. N.

khabib-bulat@mail.ru

Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра РАН, РОССИЯ, 450008, Уфа, ул. Чернышевского, 112РОССИЯ, 450008, Уфа, ул. Чернышевского, 112 Institute of Mathematics with Computing Centre of the Ufa Federal Research Centre of RAS, 112 Chernyshevsky St., Ufa 450008, Russia

Пусть \(M=M_{\mathsf{up}}-M_{\mathsf{low}}\) - разность субгармонических функций на комплексной плоскости \(\mathbb C\). Сначала обсуждается следующая общая задача. Каковы условия на распределение точек \(Z\) на \({\mathbb{C}}\), при которых найдется целая ненулевая функция \(f\), обращающаяся в нуль на \(Z\) и удовлетворяющая неравенству \(|f|\leq e^M\) на \(\mathbb{C}\)? Из известных результатов для общей задачи приведен критерий из одной из наших работ с соавторами. Следующий шаг - обсуждение частной задачи, когда \(M_{\mathsf{up}}=b|\mathrm{Im} |\) - модуль мнимой части с числовым множителем \(b\geq 0\), а \(M_{\mathsf{low}}\) - преобразование Пуассона положительной четной функции \(w\) на вещественной оси \({\mathbb{R}}\), возрастающей на положительной полуоси \({\mathbb{R}}^+\), и с конечным логарифмическим интегралом. Исследование распределений единственности для таких классов целых функций актуально, к примеру, в теории ультрадифференцируемых функций и ультрараспределений. Весьма значительный вклад в эту теорию содержится в ряде фундаментальных работ А. В. Абанина, включающих в себя и его известную монографию. Именно такие классы целых функций возникают после преобразования Фурье - Лапласа пробных функций на компактах. В этом направлении в статье обсуждаются пределы применимости теории Берлинга - Мальявена, а также приводится наш с соавторами критерий, но только для нулевой функции \(w=0\). Заключительный основной результат статьи распространяет последний критерий на случаи ненулевой функции \(w\neq 0\).

Let \(M=M_{\mathsf{up}}-M_{\mathsf{low}}\) be the difference of subharmonic functions on the complex plane \(\mathbb C\). First, we discuse the following general problem: What are the conditions for the distribution of points \(Z\) on \({\mathbb{C}}\), under which there is an entire nonzero function \(f\) that vanishes on \(Z\) and satisfies the inequality \(|f|\leq e^M\) on \(\mathbb{C}\)? We formulate some known results for the general problem from one of our papers with co-authors. The next step is to discuss a specific problem of when \(M_{\mathsf{up}}=b|\mathrm{Im}|\) is the module of the imaginary part with a numerical multiplier \(b\geq 0\), and \(M_{\mathsf{low}}\) is the Poisson transformation of a positive even function \(w\) on the real axis \({\mathbb{R}}\), increasing on the positive semi-axis \({\mathbb{R}}^+\), and with a finite logarithmic integral. A very significant contribution to this theory is contained in a number of fundamental works by A. V. Abanin, including his known monograph. It is precisely such classes of entire functions that arise after the Fourier--Laplace transform of test functions on compacts. In this direction, the article discusses the limits of applicability of the Beurling--Malliavin theory, and also provides our criterion with co-authors, but only for the zero function \(w=0\). The final main result of the article extends the last criterion to the cases of a nonzero function \(w\neq 0\).

целая функция распределение точек распределение корней субгармоническая функция распределение масс класс Картрайт логарифмический интеграл интеграл Пуассона ультрадифференцируемая функция ультрараспределение

entire function point distribution zero distribution subharmonic function mass distribution Cartwright class logarithmic integral Poisson integral ultradifferentiable function ultradistribution

Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980. 304 с.

Hayman, W. and Kennedy, P. Subharmonic Functions, Vol. 1, London Mathematical Society Monographs, no. 9, London, Academic Press, 1976, xvii+284 p.

Ransford Th. Potential Theory in the Complex Plane. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995. 232 p. 3. Khabibullin B. N., Khabibullin F. B. Necessary and sufficient conditions for zero subsets of holomorphic functions with upper constraints in planar domains // Lobachevskii J. Math. 2021. Vol. 42, № 4. P. 800-810. DOI: 10.1134/S1995080221040120. 4. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956. 632 с. 5. Havin V., Joricke B. The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis. Berlin: Springer-Verlag, 1994. xii+543 p. 6. Levin B. Ja. Lectures on Entire Functions. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1996. 248 p. (Translations of Mathematical Monographs; Vol. 150). 7. Koosis P. The Logarithmic Integral. I. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1988. 574 p. (Cambridge Stud. Adv. Math.; Vol. 12). 8. Koosis P. The Logarithmic Integral. II. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992. 606 p. (Cambridge Stud. Adv. Math.; Vol. 21). 9. Koosis P. Lecons sur le Theoreme de Beurling et Malliavin. Montreal, QC: Les Publications CRM, 1996. 230 p. 10. Хабибуллин Б. Н. Полнота систем экспонент и множества единственности. Уфа. РИЦ БашГУ, 2012. 192 c. URL: matem.anrb.ru/sites/default/files/userfiles/u35721/expkhbn.pdf. 11. Хабибуллин Б. Н., Талипова Г. Р., Хабибуллин Ф. Б. Подпоследовательности нулей для пространств Бернштейна и полнота систем экспонент в пространствах функций на интервале // Алгебра и анализ. 2014. Т. 26, № 2. С. 185-215. 12. Байгускаров Т. Ю., Талипова Г. Р., Хабибуллин Б. Н. Подпоследовательности нулей для классов целых функций экспоненциального типа, выделяемых ограничениями на их рост // Алгебра и анализ. 2016. Т. 28, № 2. С. 1-33. 13. Хабибуллин Б. Н., Шмелева А. В. Выметание мер и субгармонических функций на систему лучей. I. Классический случай // Алгебра и анализ. 2019. Т. 31, № 1. С. 156-210. 14. Хабибуллин Б. Н., Кудашева Е. Г. Субгармонические дополнения к теоремам Берлинга - Мальявена. I. О мультипликаторе // Математика и теоретические компьютерные науки. 2023. Т. 1, № 3. С. 59-76. 15. Khabibullin B. N., Kudasheva E. G. Subharmonic Additions to the Beurling-Malliavin Theorems. I. On the Multiplier // Lobachevskii J. Math. 2024. Vol. 45, № 4. P. 1866-1874. DOI:10.1134/S1995080224601395. 16. Хабибуллин Б. Н., Кудашева Е. Г. Субгармонические дополнения к теоремам Берлинга - Мальявена. II. О радиусе полноты // Математика и теоретические компьютерные науки. 2023. Т. 1, № 4. P. 105-117. DOI: 10.26907/2949-3919.2023.4.105-117. 17. Абанин А. В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения. М.: Наука, 2007. 222 с. 18. Абанин А. В. \(\Omega\)-ультрараспределения // Изв. РАН. Сер. матем. 2008. Т. 72, № 2. С. 3-38. DOI: 10.4213/im1147. 19. Beurling A., Malliavin P. On Fourier transforms of measures with compact support // Acta Math. 1962. Vol. 107. P. 291-309. DOI: 10.1007/BF02545792. 20. Beurling A., Malliavin P. On the closure of characters and the zeros of entire functions // Acta Math. 1967. Vol. 118. P. 79-93. DOI: 10.1007/BF02392477. 21. Kahane J.-P. Travaux de Beurling et Malliavin // Seminaire Bourbaki (14e annee, 1961/62, exposes 223-240, Talk no. 225). 1962. № 7. P. 27-39. 22. Redheffer R. M. Completeness of sets of complex exponentials // Adv. Math. 1977. Vol. 24. P. 1-62. 23. de Branges L. Hilbert Spaces of Entire Functions. Englewood Cliffs. N.J.: Prentice-Hall, 1968. 24. Красичков-Терновский И. Ф. Интерпретация теоремы Берлинга - Мальявена о радиусе полноты // Матем. сборник. 1989. Т. 180, № 3. С. 397-423. 25. Хабибуллин Б. Н. Неконструктивные доказательства теоремы Берлинга - Мальявена о радиусе полноты и теоремы неединственности для целых функций // Известия РАН. Серия матем. 1994. Т. 58, № 4. С. 125-148. 26. Машреги Дж., Назаров Ф. Л., Хавин В. П. Теорема Берлинга - Мальявена о мультипликаторе: седьмое доказательство // Алгебра и анализ. 2005. Т. 17, № 5. С. 3-68. 27. Khabibullin B. N., Tamindarova N. R. Subharmonic test functions and the distribution of zero sets of holomorphic functions // Lobachevskii J. Math. 2017. Т. 38, № 1. С. 38-43. DOI: 10.1134/S1995080217010115.

Ransford, Th. Potential Theory in the Complex Plane, Cambridge, Cambridge University Press, 1995, 232 p.