1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

Existence of a Local Renormalized Solution of an Elliptic Equation with Variable Exponents in \(\mathbb{R}^n\)

Существование локального ренормализованного решения эллиптического уравнения с переменными показателями в пространстве \(\mathbb{R}^n\)

10.46698/j2148-7740-8991-e

16698

06 2025

27 2 52 71

https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=16762&SECTION_ID=631

Кожевникова

Л. М.

Kozhevnikova

L. M.

kosul@mail.ru

Стерлитамакский филиал Уфимского университета науки и технологии, Россия, 453103, Стерлитамак, пр. Ленина, 49 Sterlitamak Branch of Ufa University of Science and Technology, 49 Lenin Ave., Sterlitamak 453103, Russia

The article is devoted to the study of second-order quasilinear elliptic equations with variable nonlinearity exponents and a locally integrable right-hand side in the space \(\mathbb{R}^n\). The author adapts the concept of a locally renormalized solution for equations with variable growth exponents, generalizing the results of M. F. Bidaut-V{eron and L. Veron obtained for equations with constant exponents. The work establishes conditions on the structure of the quasilinear elliptic operator with variable growth that are sufficient for the correct definition of a locally renormalized solution. The author derives a priori local estimates characterizing the regularity of the solution and, based on these, proves the existence of a locally renormalized solution in the space \(\mathbb{R}^n\) without additional restrictions on its growth at infinity. Furthermore, the work demonstrates that for a non-negative right-hand side, the solution is also non-negative almost everywhere. The research employs methods of functional analysis, including the theory of Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents. The proofs are based on compactness and monotonicity techniques, as well as the use of special test functions. The results of the work are significant for the theory of nonlinear elliptic equations and can be applied to further studies of degenerate equations and problems with measure-valued data. The study contributes to the development of analytical methods for equations with variable nonlinearity exponents and expands the applicability of the concept of locally renormalized solutions.

Статья посвящена изучению квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с переменными показателями нелинейностей и локально суммируемой правой частью в пространстве \(\mathbb{R}^n\). Автор адаптирует понятие локального ренормализованного решения для уравнений с переменными показателями роста, обобщая результаты М. Ф. Бидо-Верон, Л. Верон, полученные для уравнений с постоянными показателями. В работе найдены условия на структуру квазилинейного эллиптического оператора с переменным ростом достаточные для корректного определения локального ренормализованного решения. Автором получены априорные локальные оценки, характеризующие регулярность решения, на их основе доказано существование локального ренормализованного решения в пространстве \(\mathbb{R}^n\) без дополнительных ограничений на его рост на бесконечности. Кроме того, в работе показано, что при неотрицательной правой части решение также является неотрицательным почти всюду. В работе используются методы функционального анализа, включая теорию пространств Лебега и Соболева с переменными показателями. Доказательства основаны на применении методов компактности и монотонности, а также на использовании специальных тестовых функций. Результаты работы имеют важное значение для теории нелинейных эллиптических уравнений и могут быть применены в дальнейших исследованиях вырождающихся уравнений и задач с данными в виде меры. Работа вносит вклад в развитие методов анализа уравнений с переменными показателями нелинейностей и расширяет область применимости понятия локального ренормализованного решения.

локальное ренормализованное решение квазилинейное эллиптическе уравнение переменный показатель нелинейности существование решения

local renormalized solution quasilinear elliptic equation variable exponent in nonlinearity existence of solution

Dal Maso, G. and Malusa, A. Some Properties of Reachable Solutions of Nonlinear Elliptic Equations with Measure Data, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze, Serie 4, 1997, vol. 25, no. 1-2, pp. 375-396.

Bidaut-Veron, M. F. Removable Singularities and Existence for a Quasilinear Equation with Absorption or Source Term and Measure Data, Advanced Nonlinear Studies, 2003, vol. 3, no. 1, p. 25-63. DOI: 10.1515/ans-2003-0102.

Veron, L. Local and Global Aspects of Quasilinear Degenerate Elliptic Equations. Quasilinear Elliptic Singular Problems, Hackensack, World Scientific Publishing, 2017, 457 p.

Diening, L., Harjulehto, P., Hasto, P. and Ruzicka, M. Lebesgue and Sobolev Spa ces with Variable Exponents, Berlin, Heidelberg, Springer, 2011, 509 p. 5. Fan, X. L. and Zhao, D. On the Spaces \(L^{p(x)} (\Omega)\) and \(W^{k,p(x)} (\Omega)\), Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2001, vol. 263, no. 1, pp. 424-446. DOI: 10.1006/jmaa.2000.7617. 6. Sanchon, M. and Urbano, J. M. Entropy Solutions for the \(p(x)\)-Laplace Equation, Transactions of the American Mathematical Society, 2009, vol. 361, no. 12, pp. 6387-6405. DOI: 10.1090/S0002-9947-09-04399-2. 7. Kozhevnikova, L. M. Renormalized Solutions of Elliptic Equations with Variable Exponents and General Measure Data, Sbornik: Mathematics, 2020, vol. 211, no. 12, pp. 1737-1776. DOI: 10.1070/sm9371. 8. Mokhtari, F. Nonlinear Anisotropic Elliptic Equations in \(R^N\) with Variable Exponents and Locally Integrable Data, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2016, vol. 40, no. 3, pp. 2265-2276. DOI: 10.1002/mma.4137. 9. Dunford, N. and Schwartz, J. T. Linear Operators. I. General Theory, New York and London, Interscience Publishers, 1958, 895 p. 10. Kozhevnikova, L. M. On Solutions of Anisotropic Elliptic Equations with Variable Exponent and Measure Data, Complex Variables and Elliptic Equations, 2019, vol. 65, no. 3, pp. 337-367. DOI: 10.1080/17476933.2019.1579206. 11. Kozhevnikova, L. M. Entropy and Renormalized Solutions of Anisotropic Elliptic Equations with Variable Nonlinearity Exponents, Sbornik: Mathematics, 2019, vol. 210, no. 3, pp. 417-446. DOI: 10.1070/SM9078. 12. Kozhevnikova, L. M. On Entropy Solutions of Anisotropic Elliptic Equations with Variable Nonlinearity Indices in Unbounded Domains, Journal of Mathematical Sciences, 2021, vol. 253, no. 5, pp. 692-709. DOI: 10.1007/s10958-021-05262-0.