1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

The One Radius Theorem for the Bessel Convolution Operator and its Applications

Теорема об одном радиусе для оператора свертки Бесселя и ее применения

10.46698/e5897-8783-0193-o

16700

06 2025

27 2 72 83

https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=16765&SECTION_ID=631

Краснощеких

Г. В.

Krasnoschekikh

G. V.

wolverimred@mail.ru

Волчков

Вит. В.

Volchkov

Vit. V.

volna936@gmail.com

Донецкий государственный университет, Россия, 283001, Донецк, ул. Университетская, 24 Donetsk State University, Donetsk State University24 Universitetskaya St., Donetsk 283001, Russia

Донецкий государственный университет, РОССИЯ, 283001, Донецк, ул. Университетская, 24 Donetsk State University, 24 Universitetskaya St., Donetsk 283001, Russia

It is well known that any function \(f\in C(\mathbb{R}^n)\) (\(n\geq2\)) which has zero integrals over all balls and spheres with fixed radius \(r\) is identically zero. In this paper, we study a similar phenomenon for ball and spherical means with respect to the \(\alpha\)-convolution of Bessel. Let \(\alpha\in(-1/2,+\infty)\), let \(L^{1,\mathrm{loc}}_{\natural,\alpha}(-R,R)\) be the class of even locally summable functions with respect to the measure \(d\mu_\alpha(x)=|x|^{2\alpha+1}dx\) on the interval \((-R,R)\), and let \(f\overset{\alpha}\star g\) be the Bessel convolution of a function \(f\in L^{1,\mathrm{loc}}_{\natural,\alpha}(-R,R)\) and an even distribution \(g\) on \(\mathbb{R}\) with support in \((-R,R)\). The main result of the article provides a solution to the problem of injectivity of the operator \(f\rightarrow(f\overset{\alpha}\star\chi_r, f\overset{\alpha}\star\delta_r), \quad f\in L^{1,\mathrm{loc}}_{\natural,\alpha}(-R,R), \quad 0 < r < R,\) where \(\chi_r\) is the indicator of the segment \([-r,r]\) and \(\delta_r\) is an even measure that maps an even continuous function \(\varphi\) on \(\mathbb{R}\) to the number \(\varphi(r)\). Based on the technique associated with classical orthogonal polynomials and recent research by the authors it is shown that for \(R\geq2r\), the kernel of the specified operator is zero. For \(r < R < 2r\), it consist of functions \(f\in L^{1,\mathrm{loc}}_{\natural,\alpha}(-R,R)\) that are zero in the interval \((2r-R,R)\) and have a zero integral (with respect to the measure \(d\mu_\alpha\)) over the interval \((0,2r-R)\). This result allowed us to obtain a new criterion of the closure for the system of generalized Bessel shifts of segment indicators in the space \(L^p_{\natural,\alpha}(-R,R)\), \(1\leq p < \infty\), as well as a new uniqueness theorem for solutions of the Cauchy problem for the generalized Euler-Poisson-Darboux equation.

Хорошо известно, что всякая функция \(f\in C(\mathbb{R}^n)\), \(n\geq2\), имеющая нулевые интегралы по всем шарам и сферам фиксированного радиуса \(r\), является тождественным нулем. В данной работе изучается подобное явление для шаровых и сферических средних относительно \(\alpha\)-свертки Бесселя. Пусть \(\alpha\in(-1/2,+\infty)\), \(L^{1,\mathrm{loc}}_{\natural,\alpha}(-R,R)\) - класс четных локально суммируемых по мере \(d\mu_\alpha(x)=|x|^{2\alpha+1}dx\) функций на интервале \((-R,R)\), \(f\overset{\alpha}\star g\) - свертка Бесселя функции \(f\in L^{1,\mathrm{loc}}_{\natural,\alpha}(-R,R)\) и четного распределения \(g\) на \(\mathbb{R}\) с носителем на \((-R,R)\). Основной результат статьи дает решение задачи об инъективности оператора \( f\rightarrow(f\overset{\alpha}\star\chi_r, f\overset{\alpha}\star\delta_r), \quad f\in L^{1,\mathrm{loc}}_{\natural,\alpha}(-R,R), \quad 0 < r < R\), где \(\chi_r\) - индикатор отрезка \([-r,r]\), \(\delta_r\) - четная мера, сопоставляющая четной непрерывной функции \(\varphi\) на \(\mathbb{R}\) число \(\varphi(r)\). На основе техники, связанной с классическими ортогональными многочленами и недавними исследованиями авторов, показано, что при \(R\geq2r\) ядро указанного оператора является нулевым, а при \(r L^{1,\mathrm{loc}}_{\natural,\alpha}(-R,R)\), равных нулю на \((2r-R,R)\) и имеющих нулевой интеграл (относительно меры \(d\mu_\alpha\)) по промежутку \((0,2r-R)\). Этот результат позволил получить новый критерий замкнутости системы обобщенных сдвигов Бесселя индикаторов отрезков в пространстве \(L^p_{\natural,\alpha}(-R,R)\), \(1\leq p<\infty\), а также новую теорему единственности для решений задачи Коши обобщенного уравнения Эйлера - Пуассона - Дарбу.

обобщенный сдвиг периодичность в среднем многочлены Гегенбауэра аппроксимация сдвигами уравнение Эйлера - Пуассона - Дарбу

generalized shift mean periodicity Gegenbauer polynomials approximation by shifts Euler-Poisson-Darboux equation

Brown, L., Schreiber, B. M. and Taylor, B. A. Spectral Synthesis and the Pompeiu problem, Annales de l'Institut Fourier, 1973, vol. 23, no. 3, pp. 125-154. DOI: 10.5802/aif.474.

Ramsey, T. and Weit, Y. Mean Values and Classes of Harmonic Functions, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1984, vol. 96, no. 3, pp. 501-505. DOI: 10.1017/S0305004100062435.

Berenstein, C. A. and Struppa, D. C. Complex Analysis and Convolution Equations, Several Complex Variables, V. Encyclopedia of Mathematical Sciences, New York, Springer-Verlag, 1993, vol. 54, pp. 1-108. DOI: 10.1007/978-3-642-58011-6-1. 4. Bagchi, S. C. and Sitaram, A. The Pompeiu Problem Revisited, L'Enseignement Mathematique, 1990, vol. 36, no. 1-2, pp. 67-91. 5. Zalcman, L. Supplementary Bibliography to "A Bibliographic Survey of the Pompeiu Problem", Contemporary Mathematics. Radon Transform and Tomography, 2001, vol. 278, pp. 69-74. DOI: 10.1090/conm/278/04595. 6. Volchkov, V. V. Integral Geometry and Convolution Equations, Dordrecht, Kluwer Acad. Publ., 2003, 454 p. DOI: 10.1007/978-94-010-0023-9. 7. Rudin, W. Function Theory in the Unit Ball of \(\mathbb{C^n}\), Berlin, Springer-Verlag, 1980, 449 p. DOI: 10.1007/978-3-540-68276-9. 8. Flatto, L. The Converse of Gauss Theorem for Harmonic Functions, Journal of Differential Equations, 1965, vol. 1, pp. 483-490. 9. Hansen, W. A Liouville Property for Spherical Averages in the Plane, Mathematische Annalen, 2001, vol. 319, pp. 539-551. DOI: 10.1007/PL00004448. 10. Smith, J. D. Harmonic Analysis of Scalar and Vector Fields in \(\mathbb R^n\), Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1972, vol. 72, no. 3, pp. 403-416. DOI: 10.1017/S0305004100047241. 11. Ungar, P. Freak Theorem about Functions on a Sphere, Journal of the London Mathematical Society (2), 1954, vol. 29, pp. 100-103. 12. Zalcman, L. Offbeat Integral Geometry, The American Mathematical Monthly, 1980, vol. 87, no. 3, pp. 161-175. DOI: 10.2307/2321600. 13. Berenstein, C. A. and Zalcman, L. Pompeiu's Problem on Symmetric Spaces, Commentarii Mathematici Helvetici, 1980, vol. 55, pp. 593-621. DOI: 10.1007/BF02566709. 14. Volchkov, V. V. Solution of the Support Problem for Several Function Classes, Sbornik: Mathematics, 1997, vol. 188, no. 9, pp. 1279-1294. DOI: 10.1070/sm1997v188n09ABEH000255. 15. Volchkov, V. V. and Volchkov, Vit. V. Offbeat Integral Geometry on Symmetric Spaces, Basel, Birkhauser, 2013, 592 p. DOI: 10.1007/978-3-0348-0572-8. 16. Volchkov, Vit. V. and Krasnoschekikh, G. V. A Refinement of the Two-Radius Theorem on the Bessel-Kingman Hypergroup, Mathematical Notes, 2024, vol. 116, no. 2, pp. 223-237. DOI: 10.1134/S0001434624070174. 17. Selmi, B. and Nessibi, M. M. A Local Two Radii Theorem on the Chebli-Trimeche Hypergroup, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2007, vol. 329, no. 1, pp. 163-190. DOI: 10.1016/j.jmaa.2006.06.061. 18. Trimeche, K. Generalized Wavelets and Hypergroups, New York, CRC Press, 1997, 354 p. 19. Edwards, R. E. Fourier Series. A Modern Introduction, Vol. II, New York, Springer-Verlag, 1982, 370 p. DOI: 10.1007/978-1-4613-8156-3. 20. John, F. Plane Waves and Spherical Means: Applied to Partial Differential Equations, New York, Interscience Publishers, 1955, 190 p. DOI: 10.1007/978-1-4613-9453-2. 21. Courant, R. Partial Differential Equations, Berlin, Wiley-VCH Verlag GmbH, 1962, 830 p. 22. Erdelyi, A., Magnus, W., Oberhettinger, F. and Tricomi, F. G. Higher Transcendental Functions (Bateman Manuscript Project), Vol. I, II, New York, McGraw-Hill, 1953, 302 p. 23. Suetin, P. K. Classical Orthogonal Polynomials, Moscow, Nauka, 1979, 416 p. (in Russian). 24. Sitnik, S. and Shishkina, E. L. The Method of Transformation Operators for Differential Equations with the Bessel Operator, Moscow, Fizmatlit, 2019, 222 p. (in Russian).