1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) Применение метода повторного квантования к одному классу нефуксовых уравнений Application of the Repeated Quantization Method to a Class of Non-Fuchsian Equations 10.46698/i7249-6874-2842-b 17982 12 2025 27 4 61 71 https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=17982&SECTION_ID=646 Коровина М. В. Korovina M. V. betelgeuser@yandex.ru Смирнов В. Ю. Smirnov V. Yu. vl-smirnov@mail.ru Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, РОССИЯ, 119991, Москва, Ленинские горы, 1 Lomonosov Moscow State University, 1 Leninskiye Gory, Moscow 119991, Russia Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет), РОССИЯ, 125993, Москва, Волоколамское шоссе, 4 Moscow Aviation Institute (National Research University), 4 Volokolamskoe Shosse, Moscow 125993, Russia Одной из фундаментальных проблем аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений является проблема построения асимптотик решений дифференциальных уравнений в окрестностях иррегулярных особых точек. В общем виде эта проблема до сих пор не решена. Однако в последние годы для ее решения был создан метод повторного квантования, который позволяет строить асимптотики решений для широкого класса уравнений с иррегулярными особенностями. Данная работа посвящена его развитию. К примеру, этим методом удалось построить асимптотические решения для дифференциальных уравнений с голоморфными коэффициентами в окрестности бесконечно удаленной особой точки, которая, вообще говоря, является иррегулярной. Метод повторного квантования основан на методах ресургентного анализа, т. е. на применении преобразования Лапласа - Бореля. Он применяется в том случае, когда корни основного символа являются кратными. С помощью результатов этой статьи расширяется класс уравнений с иррегулярными особыми точками, к которым метод повторного квантования применим. А именно к тем уравнениям с иррегулярной особой точкой, для которых асимптотики решений исходного уравнения в образах Лапласа - Бореля содержат экспоненты с показателями в виде полиномов от дробной степени переменной. Применение полученных результатов к уравнению такого типа проиллюстрировано на конкретном примере. One of the fundamental problems of the analytic theory of ordinary differential equations is the problem of constructing asymptotics of solutions of differential equations in the neighborhood of irregular singular points. In general, this problem has not yet been solved. However, in recent years, the method of repeated quantization has been created to solve this problem, which allows constructing asymptotics of solutions for a wide class of equations with irregular singularities. This work is devoted to the development of this method. For example, this method has been used to construct asymptotic solutions for differential equations with holomorphic coefficients in the neighborhood of an infinitely distant singular point, which, generally speaking, is irregular. The method of repeated quantization is based on the methods of resurgent analysis, that is, on the application of the Laplace-Borel transform. This method is applied when the roots of the principal symbol are multiple. Using the results of this article, the class of equations with irregular singular points to which the repeated quantization method is applicable is expanded. Namely, to those equations with an irregular singular point such that the asymptotics of solutions of the original equation in the Laplace-Borel images contain exponentials in whose exponents there are polynomials of a fractional degree of the variable. The application of the obtained results to an equation of this type is illustrated by a specific example. асимптотики решений иррегулярные особенности ресургентный анализ преобразование Лапласа - Бореля метод повторного квантования asymptotics of solutions irregular singularities resurgent analysis Laplace--Borel transform requantization method 1 Korovina M. V., Smirnov V. Yu. Requantization method and its application to the construction of asymptotics for solutions of non-Fuchsian equations with holomorphic coefficients // J. Math. Sci. 2022. Vol. 268, № 1. P. 70-83. DOI: 10.1007/s10958-022-06181-4. Korovina, M. V. and Smirnov, V. Yu. Requantization Method and Its Application to the Construction of Asymptotics for Solutions of Non-Fuchsian Equations with Holomorphic Coefficients, Journal of Mathematical Sciences, 2022, vol. 268, no. 1, pp. 70-83. DOI: 10.1007/s10958-022-06181-4. 2 Korovina M. V. Repeated quantization method and its applications to the construction of asymptotics of solutions of equations with degeneration // Diff. Equat. 2016. Vol. 52, № 1. P. 58-75. DOI: 10.1134/S0012266116010055. Korovina, M. V. Repeated Quantization Method and Its Applications to the Construction of Asymptotics of Solutions of Equations with Degeneration, Differential Equations, 2016, vol. 52, no. 1, pp. 58-75. DOI: 10.1134/S0012266116010055. 3 Poincare H. Sur les integrales irregulieres: Des equations lineaires // Acta Math. 1886. Vol. 8. P. 295-344. DOI: 10.1007/BF02417092. Poincare, H. Sur les Integrales Irregulieres: Des Equations Lineaires, Acta Mathematica, 1886, vol. 8, pp. 295-344. DOI: 10.1007/BF02417092. 4 Poincare H. Analysis of the mathematical and natural works of Henri Poincare. In Selected works in three volumes. Vol. 3. Mathematics. Theoretical physics. Moscow: Nauka, 1974. Poincare, H. Analysis of the Mathematical and Natural Works of Henri Poincare, In Selected Works in Three Volumes, vol. $3$. Mathematics. Theoretical Physics, Moscow, Nauka, 1974. 5 Korovina M. V. {Asymptotics of solutions of linear differential equations with holomorphic coefficients in the neighborhood of an infinitely distant point // MDPI Mathematics. 2020. Vol. 8, № 12. P. 1-15. DOI: 10.3390/math8122249. Korovina, M. V. Asymptotics of Solutions of Linear Differential Equations with Holomorphic Coefficients in the Neighborhood of an Infinitely Distant Point, MDPI Mathematics, 2020, vol. 8, no. 12, pp. 1-15. DOI: 10.3390/math8122249. 6 Korovina M. V. Uniform asymptotics of solutions of the linear differential equations with holomorphic coefficients in a neighborhood of an infinitely // Lobachevskii J. Math. 2023. Vol. 44, № 7. P. 2765-2780. DOI: 10.1134/S1995080223070260. Korovina, M. V. Uniform Asymptotics of Solutions of the Linear Differential Equations with Holomorphic Coefficients in a Neighborhood of an Infinitely, Lobachevskii Journal of Mathematics, 2023, vol. 44, no. 7, pp. 2765-2780. DOI: 10.1134/S1995080223070260. 7 Кац Д. С. Вычисление асимптотик решений уравнений с полиномиальными вырождениями коэффициентов // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 12. С. 1612-1617. DOI: 10.1134/s0374064115120067. Kats, D. S. Computation of the Asymptotics of Solutions for Equations with Polynomial Degeneration of the Coefficients, Differential Equations, 2015, vol. 51, no. 12, pp. 1589-1594. DOI: 10.1134/S001226611512006X. 8 Kондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Московского мат. об-ва. 1967. Т. 16. C. 209-292. Kondrat'ev, V. A. Boundary Value Problems for Elliptic Equations in Domains with Conical or Angular Points, Trudy Moskovskogo Matematicheskogo Obshchestva [Proceedings of Moscow Mathematical Society], 1967, vol. 16, pp. 209-292 (in Russian). 9 Korovina M. V., Shatalov V. E. Differential equations with degeneration and resurgent analysis // Diff. Equat. 2010. Vol. 46, № 9. P. 1267-1286. DOI: 10.1134/S0012266110090041. Korovina, M. V. and Shatalov, V. E. Differential Equations with Degeneration and Resurgent Analysis, Differential Equations, 2010, vol. 46, no. 9, pp. 1267-1286. DOI: 10.1134/S0012266110090041. 10 Korovina M. V., Matevossian H. A. Uniform asymptotics of solutions of second-order differential equations with meromorphic coefficients in a neighborhood of singular points and their applications // MDPI Mathematics. 2022. Vol. 10, № 14. P. 1-21. DOI: 10.3390/math10142465. Korovina, M. V. and Matevossian, H. A. Uniform Asymptotics of Solutions of Second-Order Differential Equations with Meromorphic Coefficients in a Neighborhood of Singular Points and Their Applications, MDPI Mathematics, 2022, vol. 10, no. 14, pp. 1-21. DOI: 10.3390/math10142465. 11 Korovina M. V. Application of the repeated quantization method to the problem of making asymptotic solutions of equations with holomorphic coefficients // International Journal of Open Information Technologies. 2019. Vol. 7, № 9. P. 14-22. Korovina, M. V. Application of the Repeated Quantization Method to the Problem of Making Asymptotic Solutions of Equations with Holomorphic Coefficients, International Journal of Open Information Technologies, 2019, vol. 7, no. 9, pp. 14-22. 12 Ecalle J. Cinq Applications des Fonctions Resurgentes. Paris: Prepublications Mathematiques d’Orsay, 1984.-110 p. Ecalle, J. Cinq Applications des Fonctions Resurgentes, Paris, France, Prepublications Mathematiques d’Orsay, 1984. 13 Sternin B. Yu., Shatalov V. E. Borel-Laplace Transform and Asymptotic Theory: Introduction to Resurgent Analysis. Boca Raton, FL.: CRC Press, 1996. Sternin, B. Yu. and Shatalov, V. E. Borel-Laplace Transform and Asymptotic Theory. Introduction to Resurgent Analysis, Boca Raton, FL., CRC Press, 1996. 14 Коровина М. В. Асимптотики решений уравнений с высшими вырождениями // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 5. C. 710-722. Korovina, M. V. Asymptotics of Solutions of Equations with Higher Degenerations, Differential Equations, 2012, vol. 48, no. 5, pp. 717-729. DOI: 10.1134/S0012266112050102.