1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

The Effect of Processes Leading to Cell Death on the Dynamic Regimes of the Tissue Formation Model

О влиянии процессов, ведущих к смерти клеток, на динамические режимы модели тканеобразования

10.46698/b9180-8816-3043-b

18001

12 2025

27 4 136 147

https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=18035&SECTION_ID=647

Смирнов

М. А.

Smirnov

M. A.

mikhail.smirnov.aat@yandex.ru

Национальный исследовательский университет "МИЭТ", Россия, 124498, Москва, Зеленоград, пл. Шокина, 1 National Research University of Electronic Technology, 1 Shokin Square, Zelenograd, Moscow 124498, Russia

The article generalizes a mathematical model describing the population dynamics of cell clusters, based on a system of first-order nonlinear differential equations by introducing additional parameters. It is proposed to add two types of coefficients to the model: a survival coefficient, which describes the proportion of cells that die due to some environmental influences and subsequent autophagy or as a result of intracellular processes leading to death (necrosis, apoptosis), and the aging coefficient, which describes the limitation in the rate and possibility of cell division due to reduction in the length of telomers of the cells chromosomes during mitosis. The added coefficients have a biological meaning and can be evaluated during the experiment, as required by the considered model of morphogenesis. Taking these parameters into account in the mathematical model made it possible to determine new dynamic regimes in the system of differential equations describing the behavior of multicellular clusters. For the obtained system of differential equations, an analysis of its equilibrium points and the stability of steady states corresponding to these points was carried out. The values of the parameters of the mathematical model at which the system can reach a steady state were determined. Also, limitations on the parameters were identified, at which it is impossible to estimate the stability of steady states using the Lyapunov method. It follows from the obtained conditions that one of the cases when the system of cell clusters comes to a steady state is either the extinction of all cells, or the cessation of division of cell clusters. Steady states of different type are also possible, for which the criteria of existence and possibility have yet to be determined.

В статье за счет введения дополнительных параметров обобщается математическая модель, которая описывает популяционную динамику клеточных скоплений на основе системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Предлагается добавить в модель два типа коэффициентов: коэффициент выживаемости, описывающий долю клеток, погибающих в результате воздействия на клетки внешней среды и последующего процесса аутофагии или из-за внутриклеточных процессов, ведущих к смерти (некроз, апоптоз), и коэффициент старения, описывающий ограничение в скорости и возможности деления клеток из-за сокращения длины теломер хромосом клеток при митозе. Добавляемые коэффициенты обладают биологическим смыслом и могут быть оценены в ходе эксперимента, как того требует исходная рассмотренная модель. Учет в математической модели этих параметров позволил определить у системы дифференциальных уравнений, описывающей поведение многоклеточных скоплений, новые динамические режимы. Для полученной системы дифференциальных уравнений был проведен анализ ее особых точек и устойчивости стационарных состояний, которые соответствуют этим точкам. Были определены значения параметров математической модели, при которых система переходит в стационарное состояние. Также были выявлены ограничения на значения параметров, при которых оценка устойчивости стационарных состояний по методу Ляпунова невозможна. Из полученных условий следует, что одним из случаев, когда система клеточных скоплений приходит к стационарному состоянию, является вымирание или прекращение деления клеток каждой популяции. Возможны также и стационарные состояния другого вида, для которых критерии существования и устойчивости еще предстоит оценить.

системы нелинейных дифференциальных уравнений моделирование морфогенеза программируемая клеточная смерть предел Хейфлика

systems of nonlinear differential equations modeling of morphogenesis programming cell death Hayflick limit

Brauer, F. and Castillo-Chavez, C. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology, Texts in Applied Mathematics, vol. 40, New York, Springer Verlag, 2012, xxiv+508 pp. DOI: 10.1007/978-1-4614-1686-9.

Wyczalkowski, M. A., Chen, Z., Filas, B. A., Varner, V. D. and Taber, L. A. Computational Models for Mechanics of Morphogenesis, Birth Defects Research, Part C, 2012, vol. 96, no. 2. pp. 132-152. DOI: 10.1002/bdrc.21013.

Krasnyakov, I. V., Bratsun, D. A. and Pismen, L. M. Mathematical Modelling of Epithelial Tissue Dynamics, Russian Journal of Biomechanics, 2020, vol. 24, no. 4, pp. 375-388. DOI: 10.15593/RZhBiomeh/2020.4.03.

Okuda, S., Inoue, Y. and Adachi, T. Three-Dimensional Vertex Model for Simulating Multicellular Morphogenesis, Biophysics and Physicobiology, 2015, vol. 12, pp. 13-20. DOI: 10.2142/biophysico.12.0_13.

Nazarov, M. N. Mathematical Modelling of Tissue Formation on the Basis of Ordinary Differential Equations, Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences, 2017, vol. 21, no. 3, pp. 581-594 (in Russian). DOI: 10.14498/vsgtu1535.

Hayflick, L. The Limited in Vitro Lifetime of Human Diploid Cell Strains, Experimental Cell Research, 1965, vol. 37, no. 3, pp. 614-636. DOI: 10.1016/0014-4827(65)90211-9.

Shliapina, V. L., Yurtaeva, S. V., Rubtsova, M. P. and Dontsova, O. A. At the Crossroads: Mechanisms of Apoptosis and Autophagy in Cell Life and Death, Acta Naturae, 2021, vol. 13, no. 2, pp. 106-115. DOI: 10.32607/actanaturae.11208.

Festjens, N., Berghe, T. V. and Vandenabeele, P. Necrosis, a Well-Orchestrated form of Cell Demise: Signalling Cascades, Important Mediators and Concomitant Immune Response, Biochimica et Biophysica Acta (BBA) - Bioenergetics, 2006, vol. 1757, no. 9-10, pp. 1371-1387. DOI: 10.1016/j.bbabio.2006.06.014.

Nazarov, M. N. The Search for Universal Parameters for the Models of Morphogenesis, Vladikavkaz Math. J., 2013, vol. 15, no. 3, pp. 58-66 (in Russian). DOI: 10.23671/VNC.2014.3.7353.