1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) Асимптотика решения краевой задачи о поперечной нелинейной электромагнитной волне Asymptotics of the Solution of a Boundary Value Problem for Transverse Nonlinear Electromagnetic Wave 10.46698/e7486-7095-0322-l 17969 12 2025 27 4 5 20 https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=17969&SECTION_ID=647 Гетман В. А. Getman V. A. vagetman@sfedu.ru Долгих Т. Ф. Dolgikh T. F. dolgikh@sfedu.ru Жуков М. Ю. Zhukov M. Yu. myzhukov@sfedu.ru Южный федеральный университет, РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а Southern Federal University, 8a Milchakov St., Rostov-on-Don 344090, Russia Южный федеральный университет, РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а Southern Federal University, 8a Milchakov St., Rostov-on-Don 344090, Russia Южный федеральный университет, РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а Southern Federal University, Vorovich IMMCS, 8a Milchakova St., Rostov-on-Don 344090, Russia Построено асимптотическое решение краевой задачи для двух квазилинейных уравнений гиперболического типа, описывающих поведение поперечной электромагнитной волны (TEM-волны) в нелинейной сплошной среде, когда зависимость поляризации \(P\) от напряженности электрического поля \(E\) (физическая нелинейность) имеет вид \(P = \varepsilon_0(\chi_1 E + \chi_2 E^2 + \chi_3 E^3)\), где \(\chi_1\), \(\chi_2\), \(\chi_3\) - диэлектрические восприимчивости, \(\varepsilon_0\) - диэлектрическая проницаемость вакуума. Главный член асимптотики построен в двух случаях: (i) \(\chi_1 = O(1)\), \(\chi_2 \to 0\), \(\chi_3 = 0\) (анизотропная сплошная среда), (ii) \(\chi_1 = O(1)\), \(\chi_2 = 0\), \(\chi_3 \to 0\) (изотропная сплошная среда), хотя один из использованных методов построения асимптотики без труда переносится и на случай (iii) \(\chi_1 = O(1)\), \(\chi_2 \to 0\), \(\chi_3 \to 0\). В случае (\textrm{i}) асимптотика при \(\chi_2 \to 0\) строится двумя способами. В первом варианте используется непосредственное разложение в ряд по малому параметру точного неявного решения краевой задачи с последующим численным построением явного решения на линиях уровня неявного решения (главного члена асимптотики неявного решения). Во втором варианте разложения в ряды по параметру проводятся на всех этапах, предшествующих построению точного неявного решения, что приводит к неявному решению, отличному от точного, но главный член асимптотики нового и прежнего решения совпадают. Эквивалентность двух указанных вариантов далеко неочевидна, в частности, точное неявное решение содержит гипергеометрическую функцию Гаусса, а асимптотическое неявное решение - функцию Бесселя. В случае (ii) асимптотику при \(\chi_3 \to 0\) возможно построить лишь вторым способом, проводя разложение по параметру на всех этапах построения неявного решения. Первый вариант конструирования асимптотики непременим, ввиду того, что точное неявное решение не удается построить. Для построения решения краевой задачи о поведении TEM-волн, как точного, так и асимптотического, использован метод годографа на основе закона сохранения для системы двух квазилинейных гиперболических уравнений типа \(1 + 1\) в частных производных первого порядка. Метод позволяет преобразовать систему квазилинейных уравнений в одно линейное уравнение в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами. Эффективность метода зависит от наличия явных соотношений, связывающих исходные переменные с инвариантами Римана, а также от наличия явного выражения для функции Римана - Грина линейного дифференциального уравнения. В случаях (i), (ii) указанные условия выполняются. Представленные результаты позволяют детально проследить эволюцию TEM-волн в нелинейных средах, например, коаксиальных волноводах или в распределенных идеальных линиях передач, в частности, определить момент времени (и пространственную координату) при котором возможно возникновение ударных электромагнитных волн. An asymptotic solution of the boundary value problem for two quasi-linear hyperbolic equations describing the behavior of a transverse electromagnetic wave (TEM wave) in a nonlinear continuous medium is constructed when the dependence of polarization \(P\) on the electric field strength \(E\) (physical nonlinearity) has the form \(P =\varepsilon_0(\chi_1 E + \chi_2 E^2 + \chi_3 E^3)\), where \(\chi_1\), \(\chi_2\), \(\chi_3\) are dielectric susceptibility and \(\varepsilon_0\) is the dielectric constant of vacuum. The main term of the asymptotics is constructed in two cases: (i) \(\chi_1 = O(1)\), \(\chi_2\to 0\), \(\chi_3 =0\) (anisotropic continuous medium), (ii) \(\chi_1=O(1)\), \(\chi_2= 0\), \(\chi_3\to 0\) (isotropic continuous medium), although one of the methods used to construct the asymptotics is easily transferred to the case (iii) \(\chi_1= O(1)\), \(\chi_2\to 0\), \(\chi_3\to 0\). In the case of (i), the asymptotics for \(\chi_2\to 0\) is constructed in two ways. In the first variant, the direct expansion in a series by a small parameter of the exact implicit solution of the boundary value problem is used with the subsequent numerical construction of the explicit solution on the lines of the level of the implicit solution (the main term of the asymptotics of the implicit solution). In the second variant, the expansion into series by parameter is carried out at all stages preceding the construction of an exact implicit solution, which leads to an implicit solution different from the exact one, but the main term of the asymptotics of the new and previous solutions coincide. The equivalence of these two options is far from obvious, in particular, the exact implicit solution contains the hypergeometric Gauss function, and the asymptotic implicit solution contains the Bessel function. In the case of (ii), the asymptotics at \(\chi_3\to 0\) can be constructed only in the second way, by performing parameter decomposition at all stages of constructing an implicit solution. The first variant of constructing the asymptotics is indispensable to them, due to the fact that an exact implicit solution cannot be constructed. The hodograph method, based on the conservation law for a system of two quasi-linear hyperbolic equations of type \(1 + 1\) in partial derivatives of the first order, was used to construct a solution to the problem of the behavior of TEM waves , both exact and asymptotic. The method allows to transform a system of quasi-linear equations into one linear partial differential equation of the second order with variable coefficients. The effectiveness of the method depends on the presence of explicit relations connecting the initial variables with the Riemann invariants, as well as on the presence of an explicit expression for the Riemann-Green function of a linear differential equation. In cases (i), (ii) the specified conditions are valid. The presented results allow us to trace in detail the evolution of TEM waves in nonlinear media, for example, in coaxial waveguides or distributed ideal transmission lines, in particular, to determine the time (and spatial coordinate) at which the occurrence of shock electromagnetic waves is possible. системы квазилинейных гиперболических уравнений инварианты Римана функция Римана - Грина метод годографа асимптотические разложения systems of quasi-linear hyperbolic equations Riemann invariants Riemann-Green function hodograph method asymptotic expansions 1 Жуков М. Ю., Ширяева Е. В., Долгих Т. Ф. Метод годографа для решения гиперболических и эллиптических квазилинейных уравнений. Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2015. 126 c. Zhukov, M. Yu., Shiryaeva, E. V. and Dolgikh, T. F. Metod godografa dlya resheniya giperbolicheskih i ellipticheskih kvazilineynyh uravneniy [The Hodograph Method for Solving Hyperbolic and Elliptic Quasi-Linear Equations], Rostov-on-Don, Publishing House of the Southern Federal University, 2015, 126 p. (in Russian). 2 Senashov S. I., Yakhno A. Conservation laws, hodograph transformation and boundary value problems of plane plasticity // SIGMA. 2012. Vol. 8, 071. 16 p. DOI: 10.3842/SIGMA.2012.071. Senashov, S. I. and Yakhno, A. Conservation Laws, Hodograph Transformation and BoundaryValue Problems of Plane Plasticity, SIGMA, 2012, vol. 8, 071, 16 p. 3 Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978. 668 с. Rozhdestvensky, B. L. and Yanenko, N. N. Sistemy kvazilineynyh uravneniy[Systems of Quasi-Linear Equations], Мoscow, Nauka, 1978, 668 p. (in Russian). 4 Катаев И. Г. Ударные электромагнитные волны. М: Советское радио, 1963. 152 с. Kataev, I. G. Udarnye elektromagnitnye volny[Shock Electromagnetic Waves], Moscow, Soviet Radio Publishing House, 1963, 152 p.(in Russian). 5 Гапонов А. В., Островский Л. А., Фрейдман Г. И. Ударные электромагнитные волны // Изв. вузов. Радиофизика. 1967. Т. 10, № 9. С. 1376-1413. Gaponov, A. V., Ostrovsky, L. A. and Freidman, G. I. Shock Electromagnetic Waves, News of Universities. Radiophysics, 1967, vol. 10, no. 9, pp. 1376-1413 (in Russian). 6 Журавлев В. М. Многомерные нелинейные волновые уравнения с многозначными решениями // Теорет. и мат. физ. 2013. T. 174, № 2. С. 272-284. DOI: 10.4213/tmf8391. Zhuravlev, V. M. Multidimensional Nonlinear Wave Equations with Multivalued Solutions, Theoretical and Mathematical Physics, 2013, vol. 174, no. 2. pp. 236-246. DOI: 10.1007/s11232-013-0020-6. 7 Журавлев В. М. Опрокидывающиеся электромагнитные волны в средах с сильной нелинейностью // Изв. вузов. Приволж. регион. Физ.-мат. науки. 2013. № 3(27). С. 117-135. Zhuravlev, V. M. Breaking Electromagneticwaves in a Strongly Nonlinear Medium, University Proceedings. Volga Region. Physical and Mathematical Sciences, 2013, no. 3\,(27), pp. 117-135 (in Russian). 8 Журавлев В. М. Многомерные квазилинейные уравнения первого порядка и многозначные решения уравнений гиперболического и эллиптического типов // Теорет. и мат. физ. 2016. T. 186, № 3. С. 371-385. DOI: 10.4213/tmf8889. Zhuravlev, V. M. Multidimensional Quasilinear First-Order Equations and Multivalued Solutions of the Elliptic and Hyperbolic Equations, Theoretical and Mathematical Physics, 2016, vol. 186, no. 3, pp. 320-332. DOI: 10.1134/S0040577916030028. 9 Царев С. П. Геометрия гамильтоновых систем гидродинамического типа. Обобщенный метод годографа // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1990. T. 54, № 5. C. 1048-1068. Tsarev, S. P. The Geometry of Hamiltonian Systems of Hydrodynamic Type. The Generalized Hodograph Method, Mathematics of the USSR-Izvestiya, 1991, vol. 37, no. 2, pp. 397-419. DOI: 10.1070/ IM1991v037n02ABEH002069. 10 Долгих Т. Ф. Жуков М. Ю. Варианты метода годографа для решения системы двух квазилинейных уравнений // Владикавк. мат. журн. 2021. Т. 23, № 2. С. 34-50. DOI: 10.46698/x8869-5899-2064-l. Dolgikh, T. F. and Zhukov, M. Yu. Variants of the Hodograph Method for Solving a System of Two Quasilinear Equations, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2021, vol. 23, no. 2, pp. 34-50 (in Russian). DOI: 10.46698/x8869-5899-2064-l. 11 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: учеб. пособ. для вузов в 10 т. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред, 4-е изд. М.: Физматлит, 2005. 656 с. Landau, L. D. and Lifshits, E. M. Teoreticheskaya fizika: uchebnoe posobie dlya vuzov v 10 tomakh. Tom VIII. Elektrodinamika sploshnyh sred [Theoretical Physics: a Textbook for Universities in 10 Volumes. Vol. VIII. Electrodynamics of Continuous Media], 4-e izdanie, Мoscow, Fizmatlit, 2005, 656 p. (in Russian). 12 Donato A., Fusco O. D. Some Applications of the Riemann method to electromagnetic wave propagation in nonlinear media // ZAMM 60. 1980. P. 539-542. Donato, A. and Fusco, O. D. Some Applications of the Riemann Method toElectromagnetic Wave Propagation in Nonlinear Media, ZAMM 60, 1980, pp. 539-542. 13 Shiryaeva E. V., Zhukov M. Yu. Hodograph Method and Numerical Integration of Two Hyperbolic Quasilinear Equations. Part I. The Shallow Water Equations. 2014. arXiv: 1410.2832. Shiryaeva, E. V. and Zhukov, M. Yu. Hodograph Method and Numerical Integration of Two Hyperbolic Quasilinear Equations. Part I. The Shallow Water Equations, 2014, arXiv: 1410.2832. 14 Shiryaeva E. V., Zhukov M. Yu. Hodograph Method and Numerical Solution of the Two Hyperbolic Quasilinear Equations System. Part II. Zonal Electrophoresis Equations. 2014. arXiv: 1503.01762. Shiryaeva, E. V. and Zhukov, M. Yu. Hodograph Method and Numerical Solution of the Two Hyperbolic Quasilinear Equations System. Part II. Zonal Electrophoresis Equations, 2014,arXiv: 1503.01762. 15 Shiryaeva E. V., Zhukov M. Yu. Hodograph Method and Numerical Integration of Two Quasilinear Hyperbolic Equations. Part III. Two-Beam Reduction of the Dense Soliton Gas Equations. 2014. arXiv: 1512.06710. Shiryaeva, E. V. and Zhukov, M. Yu. Hodograph Method and Numerical Integration of Two Quasilinear Hyperbolic Equations. Part III. Two-Beam Reduction of the Dense Soliton Gas Equations, 2014,arXiv: 1512.06710. 16 Долгих Т. Ф. Решение задачи о переносе массы под действием электрического поля в двухкомпонентной смеси // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2017. № 3-1\,(195-1). С. 28-35. DOI: 10.23683/0321-3005-2017-3-1-28-35. Dolgikh, T. F. The Solution of the Mass Transfer Problem for The Two-Component Mixture Under the Action of an Electric Field, Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science, 2017, no. 3-1 (195-1), pp. 28-35 (in Russian). DOI: 10.23683/0321-3005-2017-3-1-28-35. 17 Долгих Т. Ф. Метод годографа для решения задачи о мелкой воде под твердой крышкой // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2021. № 1. С. 15-24. DOI: 10.18522/1026-2237-2021-1-15-24. Dolgikh, T. F.The Hodograph Method for Solving the Problem of Shallow Water Under a Solid Lid, Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science, 2021, no. 1, pp. 15-24 (in Russian). DOI: 10.18522/1026-2237-2021-1-15-24 18 Жуков М. Ю., Долгих Т. Ф. Математические модели жидкости, газа и переноса электрическим полем в многокомпонентных химически активных средах // Математический форум. Т. 13. Современные проблемы математики и математического образования. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2020. С. 87-104. (Итоги науки. Юг России). Dolgikh, T. F. and Zhukov, M. Yu. Mathematical Models of Liquid, Gas and Electric Field Transport in Multicomponent Chemically Active Media, Mathematical Forum. Vol. 13. Contemporary Problems of Mathematics and Mathematical Education, Trends in Science, The South of Russia, 2020, pp. 87-104 (in Russian). 19 Долгих Т. Ф., Жуков М. Ю. Метод годографа для решения задачи о мелкой воде под твердой крышкой в случае гиперболических уравнений // Прикл. матем. и мех. 2022. Т. 86, № 1. С. 18-34. DOI: 10.31857/S0032823522010039. Dolgikh, T. F. and Zhukov, M. Yu. Hodograph Method for Solving the Problem on Shallow Waterunder a Solid Cover in the Case of Hyperbolic Equations, Journal of AppliedMathematics and Mechanics, 2022, vol. 86, no. 1, pp. 18-34 (in Russian). DOI: 10.31857/S0032823522010039. 20 Долгих Т. Ф., Жуков М. Ю. Метод годографа для решения задачи об опрокинутой мелкой воде // Журн. вычисл. матем. и мат. физ. 2022. Т. 62, № 1. C. 113-123. DOI: 10.31857/S0044466922010069. Dolgikh, T. F. and Zhukov, M. Yu. The Hodograph Method for Solving the Overturned Shallow Water Problem, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2022, vol. 62, no. 1, pp. 106-116. DOI: 10.1134/S0965542522010067. 21 Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 c. Courant, R. Uravneniya s chastnymi proizvodnymi[Partial Differential Equations], Мoscow, Mir, 1964, 830 p. (in Russian). 22 Copson E. T. On the Riemann-Green function // Arch. Ration. Mech. Anal. 1958. Vol. 1. P. 324-348. DOI: 10.1007/BF00298013. Copson, E. T. On the Riemann-Green Function, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1958, vol. 1, pp. 324-348. DOI: 10.1007/BF00298013. 23 Ибрагимов Н. Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // Успехи мат. наук. 1992. Т. 47, № 4(286). С. 83-144. Ibragimov, N. H. Group Analysis of Ordinary Differential Equations and the Invariance Principle in Mathematical Physics, Russian Mathematical Surveys, 1992, vol. 47, no. 4. pp. 89-156. DOI: 0.1070/RM1992v047n04ABEH000916. 24 Zeitsch P. J. On the Riemann function // Mathematics. 2018. Vol. 6(12), № 316. DOI: 10.3390/math6120316. Zeitsch, P. J. On the Riemann Function, Mathematics, 2018, vol. 6, no. 316, DOI: 10.3390/math6120316. 25 Daggit E. A. The use of infinitesimal transformations in predicting the form of the Riemann (-Green) function // J. Math. Anal. Appl. 1970. № 29. P. 91-108. Daggit, E. A. The Use of Infinitesimal Transformations in Predictingthe Form of the Riemann (-Green) Function, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1970, no. 29. pp. 91-108. 26 Капцов О. В. Методы интегрирования уравнений с частными производными. М.: Физматлит, 2009. 184 с. Kaptsov, O. V. Metody integrirovaniya uravneniy s chastnymiproizvodnymi [Methods of Integration of Partial Differential Equations], Moscow, Fizmatlit, 2009, 184 p. (in Russian). 27 Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 339 с. Ovsyannikov, L. V. Gruppovoy analiz differencial'nyh uravneniy[Group Analysis of Differential Equations], Moscow, Nauka, 1978, 339 p. (in Russian). 28 Morad A. M., Zhukov M. Yu. The motion of a thin liquid layer on the outer surface of a rotating cylinder // Eur. Phys. J. Plus. 2015. Vol. 130. Art. 8. Morad, A. M. and Zhukov, M. Yu. The Motion of a Thin Liquid Layer on the Outer Surface of a Rotating Cylinder, European Physical Journal Plus, 2015, vol. 130, art. 8. 29 Беспрозванных В. Г., Первадчук В. П. Нелинейная оптика: учеб. пособие. Пермь: Изд-во Перм. гос. тех. ун-та, 2011. 200 с. Besprozvannykh, V. G. and Pervadchuk, V. P. Nelineynaya optika [Nonlinear Optics],Perm, Publishing House of Perm State Technical University, 2011, 200 p.(in Russian). 30 Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. М.: Мир. 1996. 323 с. Agrawal, G. Nelineynaya volokonnaya optika [Nonlinear Fiber Optics], Мoscow, Mir, 1996, 323 p. (in Russian). 31 Цернике Ф., Мидвинтер Дж. Прикладная нелинейная оптика. М.: Мир. 1976. 261 с. Zernike, F. and Midwinter, J. Prikladnaya nelineynaya optika[Applied Nonlinear Optics], Moscow, Mir, 1976, 261 p. (in Russian). 32 Isoard M., Kamchatnov A. M. Pavloff N. Dispersionless Evolution of Inviscid Nonlinear Pulses. 2019.-arXiv: 1912.04559v1 [nlin.PS]. 7 p. Isoard, M., Kamchatnov, A. M. and Pavloff, N. Dispersionless Evolution of Inviscid Nonlinear Pulses, 2019,arXiv: 1912.04559v1 [nlin.PS], 7 p. 33 Ludford G. S. S. On an extension of Riemann's method of integration with applications to one-dimensional gas dynamics // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1952. Vol. 48, № 3 P. 499-510. DOI: 10.1017/S0305004100027900. Ludford, G. S. S. On an Extension of Riemann's Method of Integrationwith Applications to One-Dimensional Gas Dynamics, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1952, vol. 48, no. 3, pp. 499-510. DOI: 10.1017/S0305004100027900. 34 Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Советское радио. 1977. 368 с. Scott, E. Volny v aktivnyh i nelineynyh sredakh v prilozhenii k elektronike[Waves in Active and Nonlinear Media in Application to Electronics], Moscow, Soviet radio. 1977. 368 p.(in Russian).