1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) К теории переопределенных систем интегральных уравнений типа Вольтерра On the Theory of Overdetermined Systems of Volterra-Type Integral Equations with Special Lines 10.46698/q2158-4503-2268-b 17997 12 2025 27 4 109 123 https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=17997&SECTION_ID=647 Раджабова Л. Н. Rajabova L. N. lutfya62@mail.ru Раджабов Н. Radjabov N. nusrat38@mail.ru Таджикский национальный университет, Таджикистан, 734025, Душанбе, пр. Рудаки, 17 Tajik National University, 17 Rudaki Ave., Dushanbe 734025, Tajikistan В прямоугольнике \(D=\big\{(x,y):\, a < x < a_{1},\ b < y < b_{1}\big\}\) с границей \(\Gamma_{1}=\{y=b, a < x < a_{1}\}\), \(\Gamma_{2}=\{x=a, b < y < b_{1}\}\) изучается переопределенная система интегральных уравнений типа Вольтерра с особыми линиями, которая состоит из двумерного интегрального уравнения и двух одномерных интегральных уравнений. Решение переопределенной системы интегральных уравнений типа Вольтерра с особыми линиями ищется в классе непрерывных функций в прямоугольнике \(D\) и обращающихся в нуль на \(\Gamma_{1}\), \(\Gamma_{2}\). В случае, когда основным уравнением изучаемой переопределенной системы интегральных уравнений является первое уравнение системы, и коэффициенты двумерного интегрального уравнения связаны и не связаны между собой особым образом, получим условия совместности уравнений системы. В случае, когда коэффициенты первого уравнения переопределенной системы не связаны между собой, решение переопределенной системы интегральных уравнений ищется в виде обобщенных степенных рядов. В работе получены явные решения переопределенной системы уравнений, которые в зависимости от знака коэффициентов могут содержать произвольные постоянные. Определены условия совместности уравнений системы, изучены свойства решений, ставятся и решаются задачи типа Коши, где условия задаются на сингулярных многообразиях. In the rectangle \(D=\big\{(x,y):\, a <x < a_{1},\, b < y < b_{1}\big\}\) with boundary lines \(\Gamma_{1}=\{y=b, \, a < x < a_{1}\}\), \(\Gamma_{2}=\{x=a,\, b < y < b_{1}\}\) we study a overdetermined system of the Volterra-type integral equations with special lines, which consists of a two-dimensional integral equation and two one-dimensional integral equations. The solution of the overdetermined system of the Volterra-type integral equations with special lines is sought in the class of continuous functions in the rectangle \(D\) and vanishing on the lines \(\Gamma_{1}\), \(\Gamma_{2}\). In the case when the main equation of the studied overdetermined system of integral equations is the first equation of the system and the coefficients of the two-dimensional integral equation are related and not related to each other in a special way, we obtain the conditions of jointness of the equations of the system. In the case when the coefficients of the first equation of the overdetermined system are not related, the solution of the overdetermined system of integral equations is sought in the form of generalized power series. We obtain explicit solutions of the overdetermined system of equations, which, depending on the sign of the coefficients, may contain arbitrary constants, determine the conditions of coexistence of the equations of the system, study the properties of the solutions, set and solve Cauchy-type problems, where the conditions are set on singular manifolds. переопределенная система уравнений интегральное уравнение типа Вольтерра особые линии произвольные постоянные overdetermined system of equations Volterra type integral equation special lines arbitrary constants 1 Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. Изд. 3. М.: Наука, 1968. 512 c. Muskhelishvili, N. I. Singular Integral Equations, Publ. 3, Moscow, Nauka, 1968. 2 Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 c. Gakhov, F. D. Boundary Value Problems, Moscow, Nauka, 1977 (in Russian). 3 Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959. 672 c. Vekua, I. N. Generalized Analytical Functions, Moscow, Fizmatgiz, 1959 (in Russian). 4 Михлин C. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. 254 c. Mikhlin, C. G. Multidimensional Singular Integrals and Integral Equations, New York, Pergamon Press, 1965. 5 Джураев А. Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1987. 415 c. Dzhuraev, A. D. Methods of Singular Integral Equations, New York, J. Wiley, 1992. 6 Джангибеков Г. О некоторых двумерных сингулярных интегральных операторах // Матем. заметки. 1989. Т. 46, № 46. С. 91-93. Dzhangibekov, G. On Some Two-Dimensional Singular Integral Operators, Mathematical Notes, 1991, vol. 49, no. 4, pp. 434-436. DOI: 10.1007/BF01158226. 7 Солдатов А. П., Урбанович Т. М. Характеристическое сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши в исключительном случае // Науч. ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. 2011. № 17(112), вып. 24. С. 165-171. Soldatov, A. P. and Urbanovich, T. M. A Characteristic Singular Integral Equation with a Cauchy Kernel in the Exceptional Case, Scientific Bulletin of the Belarusian State University. Ser. Mathematics. Physics, 2011, vol. 17(112), no. 24, pp. 165-171 (in Russian). 8 Плещинский Н. Сингулярные интегральные уравнения со сложной особенностью в ядре. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 2018. 160 c. Pleshchinsky, N. Singular Integral Equations with a Complex Singularity in the Core, Kazan, 2018, 160 p. (in Russian). 9 Довгий C. А., Лифанов И. К. Методы решения интегральных уравнения. Киев: Наукова думка, 2002. 343 c. Dovgiy, C. A. and Lifanov, I. K. Methods for Solving Integral Equations, Kiev, Publishing House ``Naukova Dumka'', 2002, 343 p. (in Russian). 10 Расолько Г. А. Численное решение некоторых сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши методом ортогональных многочленов. Минск: Изд-во БГУ, 2007. 293 c. Rasolko, G. A. Numerical Solution of Some Singular Integral Equations with Cauchy Kernel by Orthogonal Polynomial Method, Minsk, BSU, 2007, 293 p. (in Russian). 11 Байков И. В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений. Пенза: Изд-во ПГУ, 2004. 297 c. Boykov, I. V. Approximate Methods for Solving Singular Integral Equations, Penza, Publishing House of PSU, 2004, 297 p. (in Russian). 12 Раджабов Н. Интегральные уравнении типов Вольтерра с фиксированными граничными и внутренними сингулярными и сверх- сингулярными ядрами и их приложения. Душанбе, 2007. 221 c. Rajabov, N. Integral Equations of Volterra types with Fixed Boundary and Internal Singular and Super-Singular Kernels and Their Applications, Dushanbe, 2007, 221 p. (in Russian). 13 Раджабова Л. Н., Раджабов Н. Переопределенная линейная система интегральных уравнений и сингулярные, сверх- сингулярные интегральные уравнения типа Вольтерра третьего рода с логарифмическими и сверх- сингулярными ядрами и их приложения. Душанбе: Изд-во ТНУ, 2021. 317 с. Rajabova, L. N. and Rajabov, N. Redefined Linear System of Integral Equations and Singular, Super-Singular Volterra Type Integral Equations of the Third Kind with Logarithmic and Super-Singular Kernels and Their Applications, Dushanbe, Tajik National University, 2021, 320 p. (in Russian). 14 Раджабов Н., Раджабова Л. Н. Введение в теорию многомерных интегральных уравнений типа Вольтерра с фиксированными сингулярными и сверх- сингулярными ядрами и их приложении. Germany: LAB LAMBERT Academic Publ., 2012. 502 c. Rajabov, N. and Rajabova, L. N. Introduction to the Theory of Multidimensional Integral Equations of the Type Volterra with Fixed Singular and Super-Singular Kernels and Their Application, Lambert Academic Publ., 2011, 502 p. (in Russian). 15 Раджабова Л. Н., Хушвахтов М. Б. К теории особых двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с особой и слабо-особой линией на полосе в случае, когда параметры уравнения не связаны между собой // Докл. АН Республики Таджикистан. 2018. Т. 61, № 4. C. 331-337. Radjabova, L. N. and Khushvakhtov, M. B. On the Theory of Special Two-Dimensional Integral Equations of the Type Volterra with a Special and Weakly-Special Line on the Strip in the Case when the Parameters of the Equation are not Related, Reports of the Academy of Sciences of Tajikistan, 2018, vol. 61, no. 4, pp. 331-337 (in Russian). 16 Rajabova L. N., Khushvakhtov M. B. To the theory of non-model two-dimensional integral equations of Volterra type with a strongly singular and weakly singular line on a strip // Bulletin of L. N. Gumilyov Eurasian National University. Mathematics. Computer Science. Mechanics Series. 2019. Vol. 129, № 4. P. 67-72. Rajabova, L. N. and Khushvakhtov, M. B. To the Theory of Non-Model Two-Dimensional Integral Equations of Volterra Type with a Strongly Singular and Weakly Singular Line on a Strip, Bulletin of L. N. Gumilyov Eurasian National University, Mathematics. Computer Science. Mechanics Series, 2019, vol. 129, no. 4, pp. 67-72. 17 Хушвахтов М. Б. О некоторых случаях немодельных двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра с сильно-особой и слабо-особой линией на полосе // Междунар.науч. журн. "Молодой ученый". 2019. T. 287, № 49. C. 1-4. Khushvakhtov, M. B. On Some Cases of Non-Model Two-Dimensional Volterra-Type Integral Equations with a Strongly-Singular and Weakly-Singular Line on the Strip, International Scientific Journal "Young Scientist",2019, vol. 287, no. 49, pp. 1-4 (in Russian).