1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

What Remains the Same in Order Convergence Types

Что остается неизменным в типах порядковой сходимости?

10.46698/x9860-3651-6483-z

18003

12 2025

27 4 148 156

https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=18037&SECTION_ID=647

Уяр

А.

Uyar

ayseuyar70@gmail.com

Университет Гази, Турция, 06560, Анкара Gazi University, Department of Mathematics and Science Education, Ankara 06560, Turkey

In this paper, we examine what remains the same between order convergence and unbounded order convergence, as well as between unbounded order continuity and strongly unbounded order continuity. In [1], Gao et al. proved that a sublattice of a Riesz space is order closed if and only if it is unbounded order closed. It is shown that \(\sigma\)-ideals and unbounded \(\sigma\)-ideals are the same. Additionally, it is established that injective band operators are unbounded order continuous, while bijective order bounded disjoint preserving operators are order continuous. Let \(G\) be an order dense majorizing Riesz subspace of a Riesz space \(E\), and let \(F\) be a Dedekind complete Riesz space. In reference [2], the question is posed: If \(T : G\rightarrow F\) is a positive strongly unbounded order continuous operator, does \(T\) have a unique positive strongly unbounded order continuous extension to all of \(E\)? We prove that this problem has a positive answer whenever \(G\) is \(suo\)-convergence reducing of \(E\), namely, if \( x_\alpha \overset{suo}{\rightarrow} 0\) in \(E\) then \(x_\alpha \overset{uo}{\rightarrow} 0\) in \(G\) for any net \((x_\alpha)\) in \(G\).

В данной статье мы исследуем какие свойства не зависят от того, рассматривается ли порядковая сходимость или неограниченная порядковая сходимость, а также неограниченная порядковая непрерывность или сильно неограниченная порядковая непрерывность. В [1] Гао и др. установили, что подрешетка пространства Рисса является порядково замкнутой тогда и только тогда, когда она является неограниченной порядково замкнутой. Показано, что \(\sigma\)-идеалы и неограниченные \(\sigma\)-идеалы - это одно и то же. Кроме того, установлено, что инъективные операторы, переводящие полосы на полосы, являются неограниченными порядково непрерывными, в то время как биективные порядково ограниченные сохраняющие дизъюнктность операторы также являются порядково непрерывными. Пусть \(G\) - порядково плотное мажорирующее подпространство Рисса пространства Рисса \(E\), а \(F\) - дедекиндово полное пространство Рисса. В [2] ставится вопрос: если \(T : G\rightarrow F\) - положительный сильно неограниченно порядково непрерывный оператор, имеет ли \(T\) единственное положительное сильно неограниченное порядково непрерывное расширение на все \(E\)? Мы доказываем, что эта проблема имеет положительный ответ, если \(G\) наследует \(suo\)-сходимостью из \(E\), а именно, если \( x_\alpha \overset{suo}{\rightarrow} 0\) в \(E\), то \(x_\alpha \overset{uo}{\rightarrow} 0\) в \(G\) для любой сети \((x_\alpha)\) в \(G\).

неограниченно порядково сходящийся неограниченно порядково замкнутый идеал неограниченно порядково непрерывный оператор сильно неограниченно порядково непрерывный оператор

unbounded order convergent unbounded order closed ideal unbounded order continuous operator strongly unbounded order continuous operator

Gao, N., Troitsky, V. G. and Xantos, F. \(Uo\)-Convergence and Its Aplication to Cesaro Means in Banach Lattice, Israel Journal of Mathematics, 2017, vol. 220 no. 2, pp. 649-689. DOI: 10.1007/s11856-017-1530-y.

Turan, B. and Gurkok, H. On Unbounded Order Continuous Operators 2, Positivity, 2024, vol. 28, no. 5, pp. 1-9. DOI: 10.1007/s11117-023-01021-4.

Aliprantis, C. D. and Burkinshaw, O. Locally Solid Riesz Spaces with Applications to Economics: Second ed., Mathematical Surveys and Monographs, vol. 105, Providence, RI, American Mathematical Society, 2003.

Aliprantis, C. D. and Burkinshaw, O. Positive Operators, Berlin, Springer, 2006.

Abromovich, Y. A. and Sirotkin, G. On Order Convergence of Nets, Positivity, 2005, vol. 9, no. 3, pp. 287-292. DOI: 10.1007/s11117-004-7543-x.

Gao, N., Leung D. H. and Xanthos, F. Duality for Unbounded Order Convergence and Applications, Positivity, 2018, vol. 22, no. 3, pp. 711-725. DOI: 10.1007/s11117-017-0539-0.

Gao, N. and Xanthos, F. Unbounded Order Convergence and Application to Martingales without Probability, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2014, vol. 415, no. 2, pp. 931-947. DOI: 10.1016/j.jmaa.2014.01.078.

Abramovich, Y. A. and Aliprantis, C. D. An Invitation to Operator Theory, Graduate Studies in Mathematics, vol. 50, Providence, American Mathematical Society, 2002.

Luxemburg, W. A. J. and Zaanen, A. C. Riesz Space, vol. 1, Amsterdam, North Holland Publishing Company, 1971.

Bahramnezhad, A. and Azar, K. H. Unbounded Order Continuous Operators on Riesz Spaces, Positivity, 2018, vol. 22, no. 3, pp. 837-843. DOI: 10.1007/s11117-017-0548-z.

Bilokopytov, E. Locally Solid Convergences and Order Continuity of Positive Operators, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2023, vol. 528, no. 1, pp. 1-23. DOI: 10.1016/j.jmaa.2023.127566.

Turan, B., Altin, B. and Gurkok, H. On Unbounded Order Continuous Operators, Turkish Journal of Mathematics, 2022, vol. 46, no. 8, pp. 3391-3399. DOI: 10.55730/1300-0098.3339.

Bahramnezhad, A. and Azar, K. H. Correction to: Unbounded Order Continuous Operators on Riesz Spaces, Positivity, 2019, vol. 23, no. 3, pp. 759-760 DOI: 10.1007/s11117-019-00677-1.

Uyar, A. Solutions of Two Problems in the Theory of Disjointness Preserving Operators, Positivity, 2007, vol. 11, no. 1, pp. 119-121. DOI: 10.1007/s11117-006-2024-z.

Tao-shun, H. and Zi-li, C. The Band Operators of Archimedean-Riesz Spaces, Journal of Sichuan Normal University, 2012, vol. 35, pp. 510-514.

Turan, B. and Ozcan, K. On Band Operators, Turkish Journal of Mathematics, 2019, vol. 43, no. 2, pp. 977-984. DOI: 10.3906/mat-1811-35.

Huijsmans, C. B. and Wickstead, A. W. The Inverse of Band Preserving andDisjointness Preserving Operators, Indagationes Mathematicae, 1992, vol. 3, no. 2, pp. 179-183. DOI: 10.1016/0019-3577(92)90006-7.