1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

On Examples of Geodesic Orbit Pseudo-Riemannian Manifolds

О примерах псевдоримановых геодезически орбитальных многообразий

10.46698/i4125-5722-6924-j

18589

03 2026

28 1 108 121

https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=18625&SECTION_ID=658

Маркина

И. Г.

Markina

I. G.

irina.markina@uib.no

Никоноров

Ю. Г.

Nikonorov

Yu. G.

nikonorov2006@mail.ru

Фурутани

Furutani

kf46089@gmail.com

Университет Бергена, Норвегия, 5020, Берген, Аллегатен, 41 Department of Mathematics, University of Bergen, .O. Box 7803, N-5020 Bergen, 41 Allegaten, Norway

Южный математический институт - филиал ВНЦ РАН, Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53 Southern Mathematical Institute of VSC RAS, 53 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia

Столичный университет Осаки, Осакский центральный институт углубленной математики, Япония, 558-8585, Осака, Сугимото, Сумиоши-ку Osaka Central Advanced Mathematical Institute, Osaka Metropolitan University, Sugimoto, Sumiyoshi-ku, Osaka 558-8585, Japan

A pseudo-Riemannian manifold \((M,g)\) is called a geodesic orbit manifold if any geodesic \(\gamma\) of \(M\) is an orbit of a \(1\)-parameter subgroup of the full isometry group of \((M,g)\). This terminology in the case of Riemannian manifolds was introduced in 1991 by O. Kowalski and L. Vanhecke, who initiated a systematic study of spaces \((M=G/H,g)\), where \(G\) is an isometry group and \(H\) is an isotropy subgroup. It should be noted that symmetric spaces, weakly symmetric spaces, naturally reductive homogeneous spaces, normal homogeneous spaces, generalized normal homogeneous spaces (but not only) are subclasses of geodesic orbit pseudo-Riemannian spaces. In this paper, we present examples of geodesic orbit pseudo-Riemannian manifolds. The examples are special \(15\)-dimensional pseudo \(H\)-type Lie groups, i.e., \(2\)-step nilpotent Lie groups of Heisenberg type equipped with a left invariant pseudo-Riemannian metric. To construct the corresponding examples, results on the structure of the Lie groups under consideration were used.

Псевдориманово многообразие \((M,g)\) называется геодезически орбитальным многообразием, если любая геодезическая \(\gamma\) многообразия \(M\) является орбитой \(1\)-параметрической подгруппы полной группы изометрий \((M,g)\). Этот термин в случае римановых многообразий был введен в 1991 г. О. Ковальским и Л. Ванхекке, положившими начало систематическому изучению пространств \((M=G/H,g)\), где \(G\) - группа изометрий, а \(H\) - подгруппа изотропии. Следует отметить, что симметричные пространства, слабо симметричные пространства, естественно редуктивные однородные пространства, нормальные однородные пространства, обобщенные нормальные однородные пространства (и не только они) являются подклассами класса геодезически орбитальных псевдоримановых пространств. В данной статье приводятся примеры псевдоримановых геодезически орбитальных многообразий. Таковыми примерами являются специальные \(15\)-мерные группы Ли псевдо \(H\)-типа, т. е. \(2\)-ступенно нильпотентные группы Ли гейзенберговского типа, снабженные левоинвариантной псевдоримановой метрикой. Для построения соответствующих примеров использованы результаты о структуре рассматриваемых групп Ли.

римановы геодезически орбитальные многообразия псевдоримановы геодезически орбитальные многообразия группы Ли типа Гейзенберга.

geodesic orbit Riemannian manifolds geodesic orbit pseudo-Riemannian manifolds \(H\)-type Lie groups.

Kowalski, O. and Vanhecke, L. Riemannian Manifolds with Homogeneous Geodesics, Bollettino dell'Unione Matematica Italiana. B (7), 1991, vol. 5, no. 1, pp. 189-246.

Arvanitoyeorgos, A. Homogeneous Manifolds Whose Geodesics are Orbits. Recent Results and Some Open Problems, Irish Mathematical Society Bulletin, 2017, vol. 79, pp. 5-29. DOI: 10.33232/BIMS.0079.5.29.

Berestovskii, V. N. and Nikonorov, Yu. G. Riemannian Manifolds and Homogeneous Geodesics, Springer Monographs in Mathematics, Cham, Springer, 2020.

Nikolayevsky, Y. and Ziller, W. Non-Singular Geodesic Orbit Nilmanifolds, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 2026. DOI: 10.1007/s10231-026-01661-9.

Nikonorov, Yu. G. On the Structure of Geodesic Orbit Riemannian Spaces, Annals of Global Analysis and Geometry, 2017, vol. 52, pp. 289-311. DOI: 10.1007/s10455-017-9558-0.

Nikonorov, Yu. G. On Geodesic Orbit Nilmanifolds, Journal of Geometry and Physics, 2024, vol. 203, article ID 105257, 12 p.

del Barco, V. Homogeneous Geodesics in Pseudo-Riemannian Nilmanifolds, Advances in Geometry, 2016, vol. 16, no. 2, pp. 175-187.

Chen, Z., Nikolayevsky, Y., Wolf, J. A. and Zhang, S. Pseudo-Riemannian Geodesic Orbit Nilmanifolds of Signature \((n-2,2)\), The Journal of Geometric Analysis, 2024, vol. 34, no. 5, article no. 132, 21 p. DOI: 10.1007/s12220-024-01579-9.

Chen, Z., Wolf, J. A. and Zhang, S. On the Geodesic Orbit Property for Lorentz Manifolds, The Journal of Geometric Analysis, 2022, vol. 32, no. 3, article no. 81, 14 p. DOI: 10.1007/s12220-021-00744-8.

Dusek, Z. and Kowalski, O. Light-like Homogeneous Geodesics and the Geodesic Lemma for Any Signature, Publicationes Mathematicae Debrecen, 2007, vol. 71, no. 1-2, pp. 245-252. DOI: 10.5486/PMD.2007.3800.

Nikolayevsky, Y. and Wolf, J. A. The Structure of Geodesic Orbit Lorentz Nilmanifolds, The Journal of Geometric Analysis, 2023, vol. 33, no. 3, article no. 82, 12 p. DOI: 10.1007/s12220-022-01134-4.

Kaplan, A. On the Geometry of Groups of Heisenberg Type, Bulletin of the London Mathematical Society, 1983, vol. 15, pp. 35-42. DOI: 10.1112/blms/15.1.35.

Riehm, C. Explicit Spin Representations and Lie Algebras of Heisenberg Type, Journal of the London Mathematical Society, 1984, vol. 29, no. 1, pp. 49-62. DOI: 10.1112/jlms/s2-29.1.49.

Furutani, K., Markina, I. and Nikonorov, Y. Geodesic Orbit Pseudo-Riemannian \(H\)-Type Nilmanifolds: Case of Minimal Admissible Clifford Modules, Preprint, 2025, arXiv: 2507.00470.

Lee, J. M. Introduction to Riemannian Manifolds, 2nd edition, Graduate Texts in Mathematics, vol. 176, Cham, Springer, 2018.

Cordero, L. A. and Parker, P. E. Isometry Groups of Pseudoriemannian 2-Step Nilpotent Lie Groups, Houston Journal of Mathematics, 2009, vol. 35, no. 1, pp. 49-72.

Gordon, C. Homogeneous Riemannian Manifolds Whose Geodesics are Orbits, Topics in Geometry: Honoring the Memory of Joseph D'Atri, Progress in Nonlinear Differential Equations, vol. 20, Birkhauser, 1996, pp. 155-174.

Ovando, G. P. Naturally Reductive Pseudo-Riemannian 2-Step Nilpotent Lie Groups, Houston Journal of Mathematics, 2013, vol. 39, no. 1, pp. 147-167.

Kaplan, A. Fundamental Solutions for a Class of Hypoelliptic PDE Generated by Composition of Quadratic Forms, Transactions of the American Mathematical Society, 1980, vol. 258, no. 1, pp. 147-153. DOI: 10.1090/S0002-9947-1980-0554324-X.

Ciatti, P. Scalar Products on Clifford Modules and Pseudo-\(H\)-Type Lie Algebras, Annali di Matematica Pura ed Applicata, IV Ser., 2000, vol. 178, pp. 1-31. DOI: 10.1007/BF02505885.

Godoy Molina, M., Korolko, A. and Markina, I. Sub-Semi-Riemannian Geometry of General \(H\)-Type Groups, Bulletin des Sciences Mathematiques, 2013, vol. 137, no. 6, pp. 805-833. DOI: 10.1016/j.bulsci.2013.05.005.

Kaplan, A. Riemannian Nilmanifolds Attached to Clifford Modules, Geometriae Dedicata, 1981, vol. 11, pp. 127-136. DOI: 10.1007/BF00147615.

Furutani, K. and Markina, I. Automorphism Groups of Pseudo \(H\)-Type Algebras, Journal of Algebra, 2021, vol. 568, no. 3, pp. 91-138. DOI: 10.1016/j.jalgebra.2020.09.038.

Furutani, K. and Markina, I. Complete Classification of Pseudo \(H\)-type Lie Algebras. I, Geometriae Dedicata, 2017, vol. 190, pp. 23-51. DOI: 10.1007/s10711-017-0225-1.

Berndt, J., Tricerri, F. and Vanhecke, L. Generalized Heisenberg Groups and Damek-Ricci Harmonic Spaces,Lecture Notes in Mathematics, vol. 1598, Berlin, Springer, 1995.