1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

Общие операторы усреднения и банаховы пределы

General Averaging Operators and Banach Limits

10.46698/d4220-2436-3949-r

19358

06 2026

28 2 80 90

https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=19358&SECTION_ID=668

Зволинский

Р. Е.

Zvolinskii

R. E.

roman.zvolinskiy@gmail.com

Усачев

А. С.

Usachev

A. S.

dr.alex.usachev@gmail.com

Воронежский государственный университет, РОССИЯ, 394018, Воронеж, Университетская пл. 1 Voronezh State University, 1 Universitetskaya Sq., Voronezh 394018, Russia

Центральный Южный Университет, КИТАЙ, 410085, Чанша, Хунань Central South University, Changsha, Hunan 410085, China

В работе исследуются общие операторы усреднения, определенные на пространстве ограниченных вещественных последовательностей. Доказаны достаточные условия того, что эти операторы отображают пространство почти сходящихся последовательностей в себя и в подпространство сходящихся последовательностей. В качестве следствия из этих результатов получены достаточные условия существования банаховых пределов, инвариантных относительно этих операторов усреднения. Исследованы свойства множеств таких банаховых пределов, в частности, вычислен их диаметр. Для нескольких конкретных операторов усреднения установлена функциональная характеристика. Во всех случаях она оказалась непрерывной, но отличной от функциональной характеристики банаховых пределов, инвариантных относительно оператора Чезаро. Таким образом, показано, что множества банаховых пределов, инвариантных относительно этих операторов усреднения, дизъюнктны и между собой, и с множеством банаховых пределов, инвариантных относительно оператора Чезаро. В противоположном направлении получены достаточные условия совпадения множеств банаховых пределов, инвариантных относительно разных операторов усреднения.

The paper investigates general averaging operators defined on the space of all bounded real sequences. It proves sufficient conditions for these operators to map the space of almost convergent sequences to itself and to the subspace of convergent sequences. As a corollary of these results, it obtains sufficient conditions for the existence of Banach limits invariant with respect to these averaging operators. It studies the properties of subsets of such Banach limits. In particular, it computes their radii. For several specific averaging operators the paper calculates a functional characteristic. In all cases it turns out to be continuous, but distinct from that of Cesaro invariant Banach limits. This shows that the sets of Banach limits invariant with respect to these averaging operators are pairwise disjoint and with the set of Cesaro invariant Banach limits. A result in the opposite direction establishes sufficient conditions for the coincidence of the sets of Banach limits invariant with respect to distinct averaging operators.

банаховы пределы оператор усреднения инвариантные подмножества.

Banach limits averaging operator invariant subsets.

Работа поддержана Российским научным фондом, грант № 24-21-00220.

Mazur, S. O Metodach Sumowalnosci, Annales Polonici Mathematici (Supplement), 1929, pp. 102-107.

Banach, S. Theorie des Operations Lineaires, Editions Jacques Gabay, Sceaux, 1993. Reprint of the 1932 original, 237 p.

Lorentz, G. G. A Contribution to the Theory of Divergent Sequences, Acta Mathematica, 1948, vol. 80, pp. 167-190. DOI: 10.1007/BF02393648.

Sucheston, L. Banach Limits, The American Mathematical Monthly, 1967, vol. 74, no. 3, pp. 308-311. DOI: 10.2307/2316038.

Semenov, E. M. and Sukochev, F. A. Invariant Banach Limits and Applications, Journal of Functional Analysis, 2010, vol. 259, no. 6, pp. 1517-1541. DOI: 10.1016/j.jfa.2010.05.011.

Semenov, E., Sukochev, F., Usachev, A. and Zanin, D. Invariant Banach Limits and Applications to Noncommutative Geometry,Pacific Journal of Mathematics, 2020, vol. 306, no. 1, pp. 357-373. DOI: 10.2140/pjm.2020.306.357.

Semenov, E., Sukochev, F., Usachev, A. and Zanin, D. Invariant Banach Limits and Applications to Noncommutative Geometry, Pacific Journal of Mathematics, 2020, vol. 306, no. 1, pp. 357-373. DOI: 10.2140/pjm.2020.306.357.

Alekhno, E., Semenov, E., Sukochev, F. and Usachev, A. Order and Geometric Properties of the Set of Banach Limits, St. Petersburg Mathematical Journal, 2017, vol. 28, no. 3, pp. 299-321. DOI: 10.1090/spmj/1452.

Semenov, E., Sukochev, F., Usachev, A. and Zanin, D. Dilation Invariant Banach Limits, Indagationes Mathematicae, 2020, vol. 31, no. 5, pp. 885-892. DOI: 10.1016/j.indag.2019.12.003.

Semenov, E. M., Sukochev, F. A. and Usachev, A. S. The Main Classes of Invariant Banach Limits, Izvestiya: Mathematics, 2019, vol. 83, no. 1, pp. 124-150. DOI: 10.1070/IM8704.

Kalton, N., Sedaev, A. and Sukochev, F. Fully Symmetric Functionals on a Marcinkiewicz Space are Dixmier Traces, Advances in Mathematics, 2011, vol. 226, no. 4, pp. 3540-3549. DOI: 10.1016/j.aim.2010.09.025.

Agnew, R. P. On Deferred Cesaro Means, Annals of Mathematics, 1932, vol. 33, no. 3, pp. 413-421. DOI: 10.2307/1968524.

Alekhno, E., Semenov, E., Sukochev, F. and Usachev, A. Invariant Banach Limits and Their Extreme Points, Studia Mathematica, 2018, vol. 242, no. 1, pp.79-107. DOI: 10.4064/sm8785-5-2017.

Bennett, G. and Kalton, N. J. Consistency Theorems for Almost Convergence, Transactions of the American Mathematical Society, 1974, vol. 198, pp. 23-43. DOI: 10.1090/S0002-9947-1974-0352932-X.

Aliprantis, C. D. and Border, K. C. Infinite Dimensional Analysis. A hitchhiker's Guide, Berlin, Springer, 2006, 703 p. DOI: 10.1007/3-540-29587-9.

Usachev, A. S. Transformations in the Space of Almost Convergent Sequences,Siberian Mathematical Journal, 2008, vol. 49, no. 6, pp. 1136-1137. DOI: 10.1007/s11202-008-0110-0.

Usachev, A. S. Transformations in the Space of Almost Convergent Sequences, Siberian Mathematical Journal, 2008, vol. 49, no. 6, pp. 1136-1137. DOI: 10.1007/s11202-008-0110-0.