1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

On Narrow Operators on Kothe-Bochner Spaces

Об узких операторах в пространствах Кете - Бохнера

10.46698/g3050-4110-3527-j

19348

06 2026

28 2 40 49

https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=19380&SECTION_ID=669

Гутнова

А. К.

Gutnova

A. K.

gutnovaalina@gmail.com

Деунежев

Р. Р.

Deunezev

R. R.

resuandeunezev@gmail.com

Плиев М. А.

Pliev

M. A.

plimarat@yandex.ru

Северо-Осетинский государственный университет им. К.Л. Хетагурова, РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 44-46 North Ossetian State University, 44-46 Vatutin Street, Vladikavkaz 362025, Russia

Северо-Осетинский государственный университет, Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 44--46 North-Ossetian State University, 44-46 Vatutin St., Vladikavkaz 362025, Russia

Южный математический институт - филиал ВНЦ РАН, Россия, 362027, Владикавказ, Маркуса, 22 Southern Mathematical Institute VSC RAS, 22 Markus street, Vladikavkaz, 362027, Russia

In this paper we investigate narrow linear operators in the setting of Kothe-Bochner spaces of vector-valued measurable functions. We prove that for an atomless finite measure space $(A, \Sigma, \mu)$, a Kothe $F$-space $E$ on $(A, \Sigma, \mu)$ with the absolutely continuous norm, a Banach space $X$ and an $F$-space $Y$ every bounded linear operator $T \colon E(X) \to Y$ from a Kothe-Bochner space $E(X)$ to $Y$ is narrow, whenever the density of the range space $Y$ is strictly less than the density of $E(B)$ for every $B \in \Sigma$ with $\mu(B) > 0$. Our main result is based on methods and technique of the set-theoretic topology, the measure theory and the theory of $F$-spaces. In this connection, we mention the work of Popov, Semenov and Vatsek \cite{PSV}, where sufficient conditions on a rearrangement invariant space $E$ were established for the orthogonal projection onto the closed linear span of the Rademacher system to be a hereditarily narrow operator. Moreover, in [1] the authors posed a number of open problems turned out to be important important for the further development of the theory of narrow operators.

В данной статье исследуются узкие линейные операторы в пространствах Кёте - Бохнера измеримых вектор-функций. Во введении упомянута работа Попова, Семёнова и Вацек [1], в которой авторы установили достаточные условия того, что в банаховом симметрическом пространстве измеримых функций $E$ ортогональный проектор на замкнутое подпространство, порожденное функциями Радемахера, является наследственно узким оператором. Наше исследование также связано с изучением обобщенных систем Радемахера. Доказывается, что для пространства с конечной безатомной мерой $(A, \Sigma, \mu)$, Kёте $F$-пространства $E$ на $(A, \Sigma, \mu)$ с абсолютно непрерывной нормой, банахова пространства $X$ и $F$-пространства $Y$ любой ограниченный линейный оператор $T \colon E(X) \to Y$, действующий из пространства Кёте - Бохнера $E(X)$ в $Y$ является узким, если плотность $F$-пространства $Y$ строго меньше плотности $E(B)$ для любого $B \in \Sigma$ при $\mu(B) > 0$. Доказательство основного результата опирается на методы и технику теоретико-множественной топологии, теории меры и теории $F$-пространств. Ключевым техническим инструментом выступает теорема Магарам о разложении однородных пространств с мерой, позволяющая свести задачу к анализу на обобщенных пространствах Радемахера. Предложенный подход открывает перспективы для характеризации узких операторов в широких классах пространств Кёте - Бохнера, включая несепарабельный случай.

узкий оператор плотность однородное пространство с мерой множество Магарам $F$-пространство пространство Кёте - Бохнера.

narrow operator density homogeneous measure space Maharam set $F$-space Kothe-Bochner space.

The research was supported by the Ministry of Science and Education of the Russian Federation, no. 075-02-2026-1324.

Popov, M., Semenov, E. M. and Vatsek, D. O. Some Problems on Narrow Operators on Function Spaces, Central European Journal of Mathematics, 2014, vol. 12, no. 3, pp. 476-482. DOI: 10.2478/s11533-013-0358-x.

Popov, M. M. and Plichko, A. M. Symmetric Function Spaces on Atomless Probability Spaces, Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.), Warszawa, Institute of Mathematics of the Polish Academy of Sciences, 1990, vol. 306, 88 p.

Ghoussoub, N. and Rosenthal, H. P. Martingales, $G_{\delta}$-Embeddings and Quotients of $L_1$, Mathematische Annalen, 1983, vol. 264, no. 3, pp. 321-332. DOI: 10.1007/BF01459128.

Johnson, W. B., Maurey, B., Schechtman, G. and Tzafriri, L. Symmetric Structures in Banach Spaces, Memoirs of the American Mathematical Society, vol. 19, no. 217, American Mathematical Society, 1979, 298 p.

Maslyuchenko, O., Mykhaylyuk, V. and Popov, M. A Lattice Approach to Narrow Operators, Positivity, 2009, vol. 13, no. 6, pp. 459-495. DOI: 10.1007/s11117-008-2193-z.

Maslyuchenko, O., Mykhaylyuk, V. and Popov, M. A Lattice Approach to Narrow Operators, Positivity, 2009, vol. 13, no. 6, pp. 459-495.DOI: 10.1007/s11117-008-2193-z.

Pliev, M. and Sukochev, F. On Rosenthal's Approach of Hereditarily Narrow Projections, Proceedings of the American Mathematical Society, 2025, vol. 153, no. 10, pp. 4387-4399. DOI: 10.1090/proc/17307.

Dzhusoeva, N., Grishenko, E., Pliev, M. and Sukochev, F. Narrow Operators on $C$-Complete Lattice-Normed Spaces, Nonlinear Analysis, 2024, vol. 243, 113524. DOI: 10.1016/j.na.2024.113524.

Huang, J., Pliev, M. and Sukochev, F. On Narrow Operators from $L_p$ into Operator Ideals, Mediterranean Journal of Mathematics, 2022, vol. 19, no. 5, article no. 208. DOI: 10.1007/s00009-022-02118-y.

Huang, J., Pliev, M. and Sukochev, F. A (Strongly-)Dunford-Pettis operators and narrow operators, Integral Equations and Operator Theory, 2023, vol. 95, no. 4, article no. 22. DOI: 10.1007/s00020-023-02739-2.

Pliev, M. and Sukochev, F. The Kalton and Rosenthal Type Decomposition of Operators in Kothe-Bochner Spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2021, vol. 500, no. 2, article no. 125142. DOI: 10.1016/j.jmaa.2021.125142.

Kadets, V. M. and Popov, M. On the Lyapunov Convexity Theorem with Appications to Sign-Embeddings, Ukrainian Mathematical Journal, 1992, vol. 44, no. 9, pp. 1091-1098. DOI: 10.1007/BF01058369.

Mykhaylyuk, V., Popov, M., Randrianantoanina, B. and Schechtman, G. Narrow and $\ell_2$-Strictly Singular Operators from $L_p$, Israel Journal of Mathematics, 2014, vol. 203, pp. 81-108. DOI: 10.1007/s11856-014-0012-8.

Popov, M. and Randrianantoanina, B. Narrow Operators on Function Spaces and Vector Lattices, De Gruyter Studies in Mathematics, 2013, vol. 45, 332 p.

Jech, T. Set Theory, Dordrecht, Springer, 2003, 786 p.

Fremlin, D. H. Measure Theory. Vol. 3., Colchester, Torres Fremlin, 2002, 672 p.

Rolevicz, S. Metric Linear Spaces, Dordrecht-Boston-Lancaster, D. Reidel Publishing Company, 1985.

Diestel, J. and Uhl, J. J. Vector Measures, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 15, Providence, American Mathematical Society, 1977.

Kusraev, A. G. Dominated Operators, Kluwer Academic Publishers, 2000, 446 p.

Lin, P. K. Kothe-Bochner Function Spaces, Birchauser Basel, 2004.

Lacey, H. E. The Isometric Theory of Classical Banach Spaces, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 208, Berlin, Springer-Verlag, 1974, 270 p.

Cembranos, P. and Mendoza, J. Banach Spaces of Vector-Valued Functions, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1676, Berlin, Springer-Verlag, 1997.

Abasov, N. and Pliev, M. On Two Definitions of a Narrow Operator on Kothe-Bochner Spaces, Archiv der Mathematik, 2018, vol. 111, no. 2, pp. 167-176. DOI: 10.1007/s00013-018-1172-2.