1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) О восстановлении решения задачи Дирихле по информации, известной со случайной ошибкой 10.46698/z9615-4666-9912-l 19860 09 2026 28 3 51 59 https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=19860&SECTION_ID=672 Бурикова С. В. svetlanaburikova1997@gmail.com Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Россия, 119234, Москва, Ленинские горы, 1 , В работе рассматривается задача оптимального восстановления решения задачи Дирихле для единичного шара в \(\mathbb R^d\) с центром в нуле. Требуется наилучшим образом восстановить это решение на сфере радиуса \(\rho <1\) с центром в нуле по следующей информации: известно, что граничная функция \(f\), заданная на единичной сфере \(\mathbb S^{d-1}\), принадлежит некоторому классу, содержащемуся в пространстве \(L_2(\mathbb S^{d-1})\), и о каждой функции из этого класса известен со случайной ошибкой конечный набор ее первых коэффициентов Фурье. Указанный класс представляет собой множество тех \(f\in L_2(\mathbb S^{d-1})\), у которых норма в \(L_2(\mathbb S^{d-1})\) заданной дробной степени сферического оператора Лапласа-Бельтрами этой функции не превосходит единицы. В работе построены явные выражения для оптимальных методов восстановления, зависящих от величины дисперсии случайной погрешности, и найдены точные значения соответствующих погрешностей. Эти методы линейны и используют, вообще говоря, не всю доступную для измерения информацию. Явные выражения для оптимальных методов позволяют строить эффективные численные алгоритмы решения подобных задач, где исходная информация задана неточно. Решенная задача принадлежит тому направлению в теории приближений, которое сформировалось в семидесятые годы прошлого века и которое называют теорией оптимального восстановления линейных функционалов и операторов на классах множеств, элементы которых известны приближенно. Данная теория активно развивалась и обобщалась в различных направлениях. При этом основное внимание было уделено задачам с детерминированной погрешностью. Настоящая работа является одной из первых, где дается точное решение задачи оптимального восстановления, когда информация известна со случайной ошибкой. задача Дирихле оптимальное восстановление коэффициенты Фурье экстремальная задача 1 Смоляк С. А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: Канд. дисс. М.: МГУ, 1965. 2 Micchelli C. A., Rivlin T. J. A survey of optimal recovery // Optimal Estimation in Approximation Theory. New York: Plenum Press, 1977. P. 1–54. DOI: 10.1007/978-1-4684-2388-4. 3 Micchelli C. A., Rivlin T. J. Lectures on Optimal Recovery // Numerical Analysis Lancaster. Berlin: Springer-Verlag, 1985. P. 21–93. (Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1129.) 4 Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функц. анализ и его прил. 2003. Т. 37, № 3. С. 51–64. DOI: 10.4213/faa157. 5 Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Об оптимальном гармоническом синтезе по неточно заданному спектру // Функц. анализ и его прил. 2010. Т. 44, № 3. С. 76–79. DOI: 10.4213/faa2999. 6 Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление решения уравнения теплопроводности по неточным измерениям // Матем. сб. 2009. Т. 200, № 5. С. 37–54. DOI: 10.4213/sm7301. 7 Осипенко К. Ю. Введение в теорию оптимального восстановления. Санкт-Петербург: Лань, 2022. 388 с. 8 Кривошеев К. Ю. Об оптимальном восстановлении значений линейных операторов по информации, известной со случайной ошибкой // Матем. сб. 2021. Т. 212, № 11. С. 89–108. DOI: 10.4213/sm9484. 9 Максимова И. С., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление решения системы линейных дифференциальных уравнений по исходной информации со случайной ошибкой // Матем. сб. 2025. Т. 216, № 4. С. 67–89. DOI: 10.4213/sm10109. 10 Осипенко К. Ю. О восстановлении решения задачи Дирихле по неточным исходным данным // Владикавк. матем. журн. 2004. Т. 6, вып. 4. С. 55–62. 11 Абрамова Е. В. Наилучшее восстановление решения задачи Дирихле по неточно заданному спектру граничной функции // Владикавк. матем. журн. 2017. Т. 19, вып. 4. С. 3–12. 12 Абрамова Е. В., Магарил-Ильяев Г. Г., Сивкова Е. О. Наилучшее восстановление решения задачи Дирихле для полупространства по неточным измерениям // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60, № 10. С. 1711–1720. DOI: 10.31857/S0044466920100038. 13 Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах / Перевод с англ. М.: Мир, 1974. 333 с.