1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

Blow-up of the Solution to the Cauchy Problem for the Equation of Small Oscillations of an Absolutely Flexible Homogeneous Rod

Разрушение решения задачи Коши для уравнения малых колебаний абсолютно гибкого однородного стержня

10.46698/c8669-9426-6840-b

19879

09 2026

28 3 121 133

https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=19906&SECTION_ID=673

Умаров

Х. Г.

Umarov

Kh. G.

umarov50@mail.ru

Академия наук Чеченской Республики, Россия, 364043, Грозный, ул. В. Алиева, 19a Academy of Sciences of the Chechen Republic, 19a V. Aliev St., Grozny 364043, Russia

The Cauchy problem is studied for a nonlinear partial differential equation of Sobolev type (i.\,e., an equation not solved for the highest time derivative) that generalizes the equation of small oscillations of an absolutely flexible homogeneous rod. The problem is considered in the space of continuous functions defined on the entire real axis, for which limits exist at infinity. An explicit form of the classical solution to the corresponding linear homogeneous equation is obtained, and norm estimates for the operator-valued functions representing this solution are derived. An estimate for the norm of the solution to the Cauchy problem for the linear homogeneous equation is also given. The time interval of existence and uniqueness of a classical solution to the auxiliary Cauchy problem related to the original one is established, along with an estimate for the norm of this local solution. Conditions are found that ensure a correspondence between the classical solutions of the original and auxiliary Cauchy problems on a certain time interval. Moreover, conditions are examined under which the classical solution to the Cauchy problem blows up on a finite time interval.

В данной работе исследуется задача Коши для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных типа Соболева (т. е. уравнения, не разрешенного относительно старшей производной по времени), обобщающего уравнение малых колебаний абсолютно гибкого однородного стержня. Задача рассматривается в пространстве непрерывных функций, определенных на всей вещественной оси, для которых существуют пределы на бесконечности. Получена явная форма классического решения соответствующего линейного однородного уравнения, а также выведены оценки нормы для операторнозначных функций, представляющих это решение. Для задачи Коши линейного однородного уравнения также получена оценка нормы решения. Установлен временной интервал существования и единственности классического решения вспомогательной задачи Коши, связанной с исходной, а также оценка нормы этого локального решения. Найдены условия, обеспечивающие соответствие между классическими решениями исходной и вспомогательной задач Коши на определенном временном интервале. Кроме того, установлены условия, при которых классическое решение задачи Коши разрушается за конечное время.

малые колебания абсолютно гибкого однородного стержня нелинейное уравнение типа Соболева взрыв решения

small oscillations of an absolutely flexible homogeneous rod nonlinear Sobolev-type equation blow-up of solution

Demidenko, G. V., Uspensky, S. V. Equations and Systems not Resolved with Respect to the Highest Derivative, Novosibirsk, Scientific Book, 1998, 436 p.

Svetlitsky, V. A. Mechanics of Flexible Rods and Threads, Moscow, Mashinostroenie, 1978, 222 p.

Sveshnikov, A. G., Alshin, A. B., Korpusov, M. O. and Pletner, Yu. D. Linear and Nonlinear Equations of Sobolev Type, Moscow, Fizmatlit, 2007, 736 p.

Dunford, N. and Schwartz, J. T. Linear Operators. General Theory, Moscow, Foreign Literature Publishing House, 1962, 895 p.

Erofeev, I. V. Bending-Torsional, Longitudinal-Bending and Longitudinal-Torsional Waves in Rods, Bulletin of Scientific and Technical Development, 2012, vol. 5, no. 57, pp. 3–18.

Demidenko, G. V. Solvability Conditions of the Cauchy Problem for Pseudohyperbolic Equations, Siberian Mathematical Journal, 2015, vol. 56, no. 6, pp. 1028–1041. DOI: 10.1134/S0037446615060075.

Umarov, Kh. G. Cauchy Problem for the Equation of Bending Vibrations of a Nonlinearly Elastic Rod of Infinite Length, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2017, vol. 19, no. 3, pp. 59–69. DOI: 10.23671/VNC.2017.3.7131.

Vasiliev, V. V., Krein, S. G. and Piskarev, S. I. Operator Semigroups, Cosine Operator Functions and Linear Differential Equations, Journal of Soviet Mathematics, 1991, vol. 54, no. 4, pp. 1042–1129. DOI: 10.1007/BF01138948.

Travis, C. C. and Webb, G. F. Cosine Families and Abstract Nonlinear Second Order Differential Equations, Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 1978, vol. 32, no. 1–2, pp. 75–96. DOI: 10.1007/BF01902205.

Dragomir, S. S. Some Gronwall Type Inequalities and Applications, Melbourne City MC, 2002, 193 p.

Kudryavtsev, L. D. Course of Mathematical Analysis, Vol. \(1\), Moscow, Drofa, 2006, 702 p.

Korpusov, M. O., Sveshnikov, A. G. and Yushkov, E. V. Methods of the Theory of Destruction of Solutions of Nonlinear Equations of Mathematical Physics, Moscow, Physics Faculty of Moscow State University, 2014, 364 p.