1683-3414 1814-0807

Владикавказский математический журнал

Vladikavkaz Mathematical Journal

Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН)

Characteristic Cauchy Problem for a Loaded Wave Equation

Характеристическая задача Коши для нагруженного волнового уравнения

10.46698/p6864-6863-9599-h

19852

09 2026

28 3 17 25

https://vmj.ru/eng/archive/detail.php?ELEMENT_ID=19888&SECTION_ID=673

Аттаев

А. Х.

Attaev

A. Kh.

attaev.anatoly@ya.ru

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, Россия, 360000, Нальчик, ул. Шортанова 89А Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS, 89A Shortanov St., Nalchik 360000, Russia

The paper considers a loaded wave equation. Its peculiarity is that in characteristic variables \(\xi=x-y\), \(\eta=x+y\), the loaded components are a linear combination of unknown functions, which depend only on \(\xi\) or \(\eta\). Moreover, the loaded part of this equation is a solution to the wave equation. For such an equation a representation of all its solutions is obtained. The problem is investigated in the case where the carrier is one of the characteristics of the wave equation, a setting known to be ill-posed for the usual string oscillation equation. For the Cauchy problem, the same characteristic carrier is considered. For a normal wave equation, such a formulation is known to be ill-posed. When some nonlocal conditions of a point nature are satisfied, the existence and uniqueness theorem for the given problem is proved, and the solution is written out explicitly. This shows the effect of the load as a regulator of the ill-posed problem.

В работе рассматривается одномерное нагруженное волновое уравнение. Особенностью такой нагрузки является то, что в характеристических переменных \(\xi=x-y\), \(\eta=x+y\) нагруженные компоненты представляют собой линейную комбинацию неизвестных функций, зависящих только от \(\xi\) или \(\eta\). Для исходного волнового уравнения получено представление всех его решений, являющееся аналогом представления общего решения обычного уравнения колебания струны. Для него исследована задача, в которой носителем данных Коши является одна из характеристик рассматриваемого нагруженного волнового уравнения. Для обычного уравнения колебания струны такая задача является некорректной. При выполнении некоторых нелокальных условий точечной природы доказана теорема существования и единственности решения, а само оно выписано в явном виде. Это показывает влияние нагрузки как регулятора для некорректной задачи. Регуляризация задачи Коши с данными на характеристиках происходит за счет наличия нагруженных слагаемых специального вида, каждое из которых отвечает за корректность на соответствующей характеристике.

нагруженное уравнение волновое уравнение волновой оператор формула Даламбера характеристическая задача Коши

loaded equation wave equation wave operator d'Alembert formula characteristic Cauchy problem

Nakhushev, A. M. On the Darboux Problem for One Degenerate Loaded Second-Order Integro-Differential Equation, Differential Equations, 1976, vol. 12, no. 1, pp. 103-108 (in Russian).

Dzhenaliev, M. T. and Ramazanov, M. I. Loaded Equations as Perturbations of Differential Equations [Nagruzhennye uravneniya kak vozmushcheniya differentsial'nykh uravneniy], Almaty, Fylym, 2010, 336 p. (in Russian).

Nakhushev, A. M. Loaded Equations and Their Applications [Nagruzhennye uravneniya i ikh primeneniya], Moscow, Nauka, 2012, 232 p. (in Russian).

Nakhusheva, V. A. Differential Equations of Mathematical Models of Nonlocal Processes [Differentsial'nye uravneniya matematicheskikh modeley nelokal'nykh protsessov], Moscow, Nauka, 2006, 173 p. (in Russian).

Serbina, L. I. Nonlocal Mathematical Models of Transport in Aquifer Systems [Nelokalnye matematicheskie modeli perenosa v vodonosnykh sistemakh], Moscow, Nauka, 2007, 167 p. (in Russian).

Attaev, A. Kh. Goursat Problem for Loaded Degenerate Second Order Hyperbolic Equation with Gellerstedt Operator in Principal Part, Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta, Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki [Journal of Samara State Technical University, Series Physical and Mathematical Sciences], 2016, vol. 20, no. 1, pp. 7-21 (in Russian). DOI: 10.14498/vsgtu1452.

Attaev, A. Kh. Goursat Problem for Loaded Hyperbolic Equation, Reports of Adyghe (Circassian) International Academy of Sciences, 2016, vol. 16, no. 3, pp. 9-12 (in Russian).

Courant, R. Partial Differential Equations [Uravneniya s chastnymi proizvodnymi], Moscow, Mir, 1964, 832 p. (in Russian).

Attayev, A. Kh. The Cauchy Problem for a Loaded Linear Differential Equation of the First Order, Bulletin of KRAUNC. Physical and Mathematical Sciences, 2023, vol. 44, no. 3, pp. 9-18 (in Russian). DOI: 10.26117/2079-6641-2023-44-3-9-18.

Attaev, A. Kh. Boundary Control Problem for a Loaded String Vibration Equation, Differential Equations, 2020, vol. 56, no. 5, pp. 635-640. DOI: 10.1134/S0012266120050080.

Attaev, A. Kh. Boundary Value Problems for a Loaded Wave Equation, Bulletin of the Karaganda University. Mathematics Series, 2017, no. 2 (86), pp. 8-13 (in Russian). DOI: 10.31489/2017M2/8-13.

Borok, V. M. and Zhitomirsky, Ya. I. Cauchy Problem for Linear Loaded Differential Equations. I. Uniqueness, Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika, 1981, no. 9, pp. 5-12 (in Russian).

Borok, V. M. and Zhitomirsky, Ya. I. Cauchy Problem for Linear Loaded Differential Equations. II. Well-Posedness, Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika, 1981, no. 10, pp. 3-9 (in Russian).

Borok, V. M. and Zhitomirsky, Ya. I. The Cauchy Problem for a Certain Class of Loaded Equations, Russian Mathematical Surveys, 1979, vol. 34, no. 1, pp. 219-220. DOI: 10.1070/RM1979v034n01ABEH002877.