1683-3414 1814-0807 Владикавказский математический журнал Vladikavkaz Mathematical Journal Южный математический институт - филиал Федерального государственного бюджетного учреждения науки Федерального научного центра «Владикавказский научный центр Российской академии наук» (ЮМИ ВНЦ РАН) Обратная задача реконструкции расслоений в функционально-градиентной полосе Inverse Problem of Delamination Reconstruction in a Functionally-Graded Strip 10.46698/k5003-0293-2639-b 19881 09 2026 28 3 134 149 https://vmj.ru/archive/detail.php?ELEMENT_ID=19881&SECTION_ID=673 Явруян О. В. Yavruyan O. V. yavruyan@mail.ru Южный математический институт - филиал ВНЦ РАН, РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53 Southern Mathematical Institute of VSC RAS, 53 Vatutin St., Vladikavkaz 362025, Russia Проведено исследование задачи об установившихся колебаниях функционально-градиентной полосы, ослабленной туннельными расслоениями на нижней границе. Решена прямая задача о построении волнового поля всюду в полосе. Ее решение построено путем сведения к граничному интегральному уравнению (ГИУ) относительно неизвестных компонент функции раскрытия расслоений, которая отлична от нуля только в зоне наличия дефектов. Краевая задача с переменными коэффициентами для трансформант полей смещений и напряжений решена с привлечением метода пристрелки. Выполнен анализ ядра ГИУ. Исследовано поведение символа ядра на бесконечности, получена аналитическая оценка, на основании которой выделены регулярная и нерегулярная (сингулярная) части ядра ГИУ. Дискретизация ГИУ осуществлена на основе метода граничных элементов (МГЭ), метода коллокаций и численных квадратурных схем для сингулярных интегралов. Обратная задача идентификации расслоений сведена к определению инвариантных параметров дефекта из условия минимума функционала невязки с привлечением оптимизационных алгоритмов нулевого порядка (генетический алгоритм, метод Нелдера - Мида). Выполнен асимптотический анализ задачи для дефектов малого относительного размера. Решена обратная задача идентификации параметров трещины по данным о полях смещений, измеренных на части верхней границы полосы. Проведен сравнительный анализ результатов, полученных на основании МГЭ и асимптотического подхода. Определены границы применимости асимптотических формул. The steady-state oscillations of a functionally graded strip weakened by tunnel delaminations at its lower boundary are studied. The direct problem of constructing the wave field throughout the strip is solved. Its solution is obtained by reduction to a boundary integral equation (BIE) with respect to the unknown components of the delamination opening displacement function. This function is nonzero only within the zone of defects. The boundary value problem with variable coefficients for the transformed displacement and stress fields is solved using the shooting method. An analysis of the BIE kernel is performed. The asymptotic behavior of the symbol of the kernel at infinity is investigated, yielding an analytical estimate that allows separation of the BIE kernel into regular and irregular (singular) parts. Discretization of the BIE is implemented using the boundary element method (BEM), collocation methods, and numerical quadrature schemes for singular integrals. The inverse problem of delamination identification is reduced to determining the invariant parameters of the defect through minimization of a residual functional, using zero-order optimization algorithms (genetic algorithm, Nelder-Mead method). An asymptotic analysis is performed for defects of small relative sizes. The inverse problem of crack parameter identification is solved using displacement field data measured on a portion of the upper boundary of the strip. A comparative analysis is conducted of the results obtained via BEM and the asymptotic approach. The applicability limits of asymptotic formulas are established. установившиеся колебания полоса неоднородность ФГМ (функционально-градиентные материалы) расслоения обратная задача реконструкция инвариантные параметры метод пристрелки граничные интегральные уравнения сингулярность асимптотика метод коллокаций теория вычетов steady-state oscillations strip inhomogeneity FGM (functionally graded materials) delaminations inverse problem reconstruction invariant parameters shooting method boundary integral equations singularity asymptotics collocation method residue theory 1 Ватульян А. О., Явруян О. В. Колебания полосы с отслоением в рамках однопараметрической модели Айфантиса градиентной теории упругости // Вестн. Перм. нац. исслед. политехн. ун-та. Механика. 2022. № 3. С. 70–82. DOI: 10.15593/perm.mech/2022.3.08. Vatulyan, A. O. and Yavruyan, O. V. Vibrations of a Strip with Delamination in the Framework of the One-Parameter Aifantis Model of Gradient Elasticity Theory, Perm National Research Polytechnic University Mechanics Bulletin, 2022, no. 3, pp. 70–82. DOI: 10.15593/perm.mech/2022.3.08. 2 Vatulyan A. O., Nesterov S. A., Yavruyan O. V. The models of gradient mechanics and singularly perturbed boundary value problems // Lobachevskii J. Math. 2023. Vol. 44, No. 8. P. 3604–3612. DOI: 10.1134/S1995080223080565. Vatulyan, A. O., Nesterov, S. A. and Yavruyan, O. V. The Models of Gradient Mechanics and Singularly Perturbed Boundary Value Problems, Lobachevskii Journal of Mathematics, 2023, vol. 44, no. 8, pp. 3604–3612. DOI: 10.1134/S1995080223080565. 3 Ломакин Е. В., Лурье С. А., Рабинский Л. Н., Соляев Ю. О. Об уточнении напряженного состояния в прикладных задачах упругости за счет градиентных эффектов // Докл. Академии наук. 2019. Т. 489, № 6. С. 585–591. DOI: 10.31857/S0869-56524896585-591. Lomakin, E. V., Lurie, S. A., Rabinskiy, L. N. and Solyaev, Y. O. On the Refined Stress Analysis in the Applied Elasticity Problems Accounting of Gradient Effects, Doklady Akademii Nauk, 2019, vol. 489, no. 6, pp. 585–591. DOI: 10.31857/S0869-56524896585-591. 4 Fomenko S. I., Golub M. V., Zhang Ch., Bui T. Q., Wang Y.-S. In-plane elastic wave propagation and band-gaps in layered functionally graded phononic crystals // Int. J. Solids Struct. 2014. Vol. 51, issue 13. P. 2491–2503. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2014.03.017. Fomenko, S. I., Golub, M. V. and Bui, T. Q. In-Plane Elastic Wave Propagation and Band-Gaps in Layered Functionally Graded Phononic Crystals, International Journal of Solids and Structures, 2014, vol. 51, no. 13, pp. 2491–2503. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2014.03.017. 5 Golub M. V., Doroshenko O. V., Fomenko S. I., Wang Y., Zhang C. Elastic wave propagation, scattering and localization in layered phononic crystals with arrays of striplike cracks // Int. J. Solids Struct. 2020. Vol. 212. P. 1–22. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2020.12.001. Golub, M. V., Doroshenko, O. V., Fomenko, S. I., Wang, Y. and Zhang, C. Elastic Wave Propagation, Scattering and Localization in Layered Phononic Crystals with Arrays of Striplike Cracks, International Journal of Solids and Structures, 2020, vol. 212, pp. 1–22. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2020.12.001. 6 Евдокимов А. А., Глушкова Н. В., Глушков Е. В. Гибридная численно-аналитическая схема для расчета дифракции упругих волн в локально неоднородных волноводах // Акустический журн. 2018. Т. 64, № 1. С. 3–12. DOI: 10.7868/S0320791918010082. Evdokimov, A. A., Glushkova, N. V. and Glushkov, E. V. Hybrid Numerical-Analytical Scheme for Calculating the Diffraction of Elastic Waves in Locally Inhomogeneous Waveguides, Acoustical Physics, 2018, vol. 64, no. 1, pp. 3–12 (in Russian). DOI: 10.7868/S0320791918010082. 7 Vatul’yan A. O., Yavruyan O. V. An asymptotic method for solving the problem of identifying a curvilinear crack in an elastic layer // Russ. J. Nondestruct Test. 2020. Vol. 56, No. 10. P. 810–819. DOI: 10.1134/S1061830920100101. Vatul'yan, A. O. and Yavruyan, O. V. An Asymptotic Method for Solving the Problem of Identifying a Curvilinear Crack in an Elastic Layer, Russian Journal of Nondestructive Testing, 2020, vol. 56, no. 10, pp. 810–819. DOI: 10.1134/S1061830920100101. 8 Ватульян А. О., Явруян О. В. Исследование обратных задач теории трещин с использованием асимптотического метода // Эколог. вестн. науч. центров ЧЭС. 2018. Т. 15, № 2. С. 39–46. Vatulyan, A. O. and Yavruyan, O. V. Investigation of Inverse Problems of Crack Theory Using Asymptotic Method, Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation, 2018, vol. 15, no. 2, pp. 39–46 (in Russian). 9 Ge H., Chua Kim Huat D., Koh C. G., Dai G., Yu Y. Guided wave–based rail flaw detection technologies: state-of-the-art review // Structural Health Monitoring. 2021. Vol. 21, No. 3. P. 1287–1308. DOI: 10.1177/14759217211013110. Ge, H., Chua Kim Huat, D., Koh, C. G., Dai, G. and Yu, Y. Guided Wave-Based Rail Flaw Detection Technologies: State-of-the-Art Review, Structural Health Monitoring, 2021, vol. 21, no. 3, pp. 1287–1308. DOI: 10.1177/14759217211013110. 10 Guan R., Lu Y., Duan W., Wang X. Guided waves for damage identification in pipeline structures: a review // Structural Control and Health Monitoring. 2017. Vol. 24, No. 11. DOI: 10.1002/stc.2007. Guan, R., Lu, Y., Duan, W. and Wang, X. Guided Waves for Damage Identification in Pipeline Structures: a Review, Structural Control and Health Monitoring, 2017, vol. 24, no. 11. DOI: 10.1002/stc.2007. 11 Ватульян А. О., Юров В. О. Численное и асимптотическое решение задачи о колебаниях неоднородного волновода с кольцевой трещиной конечной ширины // Акустический журн. 2020. Т. 66, № 5. С. 467–474. DOI: 10.31857/S0320791920050147. Vatulyan, A. O. and Yurov, V. O. Numerical and Asymptotic Solution of the Problem of Oscillations of an Inhomogeneous Waveguide with an Annular Crack of Finite Width, Acoustical Physics, 2020, vol. 66, no. 5, pp. 441–448. DOI: 10.1134/S1063771020050140. 12 Vatulyan A. O., Plotnikov D. K., Yurov V. O. On the deformation of coated functionally graded structures with delamination // Acta Mech. 2021. Vol. 232, No. 5. P. 1863–1873. DOI: 10.1007/s00707-020-02846-w. Vatulyan, A. O., Plotnikov, D. K. and Yurov, V. O. On the Deformation of Coated Functionally Graded Structures with Delamination, Acta Mechanica, 2021, vol. 232, no. 5, pp. 1863–1873. DOI: 10.1007/s00707-020-02846-w. 13 Bogachev I. V., Vatulyan A. O. On modeling bodies with delaminating coatings taking into account the fields of prestresses // PNRPU Mech. Bull. 2020. No. 1. P. 5–16. DOI: 10.15593/perm.mech/2020.1.01. Bogachev, I. V. and Vatulyan, A. O. On Modeling Bodies with Delaminating Coatings Taking into Account the Fields of Prestresses, PNRPU Mechanics Bulletin, 2020, no. 1, pp. 5–16. DOI: 10.15593/perm.mech/2020.1.01. 14 Zhu L., Ke L. Vibrational power flow and damage identification of cracked functionally graded plates // Arch. Appl. Mech. 2023. Vol. 93. P. 1925–1942. DOI: 10.1007/s00419-023-02363-x. Zhu, L. and Ke, L. Vibrational Power Flow and Damage Identification of Cracked Functionally Graded Plates, Archive of Applied Mechanics, 2023, vol. 93, pp. 1925–1942. DOI: 10.1007/s00419-023-02363-x. 15 Zhu L., Ke L., Xiang Y., Zhu X. Q. Free vibration and damage identification of cracked functionally graded plates // Composite Structures. 2020. Vol. 250. Article no. 112517. DOI: 10.1016/j.compstruct.2020.112517. Zhu, L., Ke, L., Xiang, Y. and Zhu, X. Q. Free Vibration and Damage Identification of Cracked Functionally Graded Plates, Composite Structures, 2020, vol. 250, Article no. 112517. DOI: 10.1016/j.compstruct.2020.112517. 16 Ахматов З. А., Тотиева Ж. Д. Квазидвумерная коэффициентная обратная задача для волнового уравнения в слабо горизонтально-неоднородной среде с памятью // Владикавк. мат. журн. 2021. Т. 23, № 4. С. 15–27. DOI: 10.46698/l4464-6098-4749-m. Akhmatov, Z. A. and Totieva, Zh. D. Quasi-Two-Dimensional Coefficient Inverse Problem for the Wave Equation in a Weakly Horizontally Inhomogeneous Medium with Memory, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2021, vol. 23, no. 4, pp. 15–27 (in Russian). DOI: 10.46698/l4464-6098-4749-m. 17 Tomaev M. R., Totieva Zh. D. An Inverse Two-Dimensional Problem for Determining Two Unknowns in Equation of Memory Type for a Weakly Horizontally Inhomogeneous Medium // Владикавк. мат. журн. 2024. Т. 26, вып. 3. С. 112–134. DOI: 10.46698/e7124-3874-1146-k. Tomaev, M. R. and Totieva, Zh. D. An Inverse Two-Dimensional Problem for Determining Two Unknowns in Equation of Memory Type for a Weakly Horizontally Inhomogeneous Medium, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2024, vol. 26, no. 3, pp. 112–134. DOI: 10.46698/e7124-3874-1146-k. 18 Ватульян А. О., Нестеров С. А. Обратная задача термоэлектроупругости для функционально-градиентного слоя // Владикавк. мат. журн. 2024. Т. 26, вып. 1. С. 68–84. DOI: 10.46698/x5277-2885-8052-p. Vatulyan, A. O. and Nesterov, S. A. Inverse Problem of Thermo-Electro-Elasticity for a Functionally Graded Layer, Vladikavkaz Mathematical Journal, 2024, vol. 26, no. 1, pp. 68–84 (in Russian). DOI: 10.46698/x5277-2885-8052-p. 19 Bazulin E. G., Goncharsky A. V., Romanov S. Y., Seryozhnikov S. Y. Assessment of the Possibilities of Ultrasound Tomographic Imaging of Multi-Layer Composite Materials // Lobachevskii J. Math. 2024. Vol. 45, No. 7. P. 2974–2983. DOI: 10.1134/S1995080224603692. Bazulin, E. G., Goncharsky, A. V., Romanov, S. Y. and Seryozhnikov, S. Y. Assessment of the Possibilities of Ultrasound Tomographic Imaging of Multi-Layer Composite Materials, Lobachevskii Journal of Mathematics, 2024, vol. 45, no. 7, pp. 2974–2983. DOI: 10.1134/S1995080224603692. 20 Ворович И. И., Бабешко В. В. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1989. 320 с. Vorovich, I. I. and Babeshko, V. V. Dynamic Mixed Problems of Elasticity Theory for Nonclassical Domains, Moscow, Nauka, 1989, 320 p. (in Russian). 21 Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, № 5 (77). С. 3–122. Vishik, M. I. and Lyusternik, L. A. Regular Degeneration and Boundary Layer for Linear Differential Equations with Small Parameter, Russian Mathematical Surveys, 1957, vol. 12, no. 5 (77), pp. 3–122. 22 Ватульян А. О., Плотников Д. К. Контактная задача для функционально-градиентной ортотропной полосы // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 4. С. 479–493. DOI: 10.18500/1816-9791-2022-22-4-479-493. Vatulyan, A. O. and Plotnikov, D. K. Contact Problem for a Functionally Graded Orthotropic Strip, Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics [Proceedings of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Computer Science], 2022, vol. 22, no. 4, pp. 479–493 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2022-22-4-479-493.