Аннотация: Представлены новые постановки и решения задач оптимизации переменного коэффициента теплопроводности для неоднородной трубы и плоской стенки со смешанными граничными условиями. В качестве функционалов качества выступают либо средняя температура, либо максимальная температура, а в качестве ограничения - либо условие постоянства интегрального коэффициента теплопроводности, либо априорная информация об изменении коэффициента теплопроводности в известном диапазоне. Для решения задач для трубы применяются два метода оптимизации: 1) вариационный подход, основанный на введении сопряженных функций и построении расширенного функционала Лагранжа; 2) принцип максимума Понтрягина. Для решения задачи оптимизации для плоской стенки в предположении о слабой неоднородности материала применяется метод разложения по малому физическому параметру. В качестве четвертой задачи рассмотрена оптимизация переменного коэффициента теплопроводности неоднородной плоской стенки с граничными условиями первого рода. Решение сингулярной задачи оптимизации находится среди ломанных экстремалей. На конкретных примерах проведено сравнение значений минимизируемых функционалов для тел с постоянным коэффициентом теплопроводности и оптимальным переменным коэффициентом. Оценен выигрыш от оптимизации.
Ключевые слова: оптимизация, коэффициент теплопроводности, функционально-градиентный материал, плоская стенка, труба, вариационный метод Лагранжа, принцип макимума Понтрягина, метод разложения по малому параметру, сингулярная задача
Образец цитирования: Ватульян А. О., Нестеров С. А. Некоторые аналитические решения в задачах оптимизации переменного коэффициента теплопроводности // Владикавк. мат. журн. 2024. Т. 26, вып. 3. С. 33-46. DOI 10.46698/v9056-4395-2233-f
1. Lee W. Y., Stinton D. P., Bernardt C. C., Erdogan F, Lee Y. D., Mutasin Z.
Concept of functionally graded materials for advanced thermal barrier coatings applications //
Journal of American Ceramic Society. 1996. Vol. 19. P. 3003-3012. DOI: 10.1111/j.1151-2916.1996.tb08070.x.
2. Wetherhold R. C., Seelman S., Wang J. The use of functionally graded materials to eliminated
or control thermal deformation // Composites Science and Technology. 1996. № 56. P. 1099-1104. DOI: 10.1016/0266-3538(96)00075-9.
3. Mathew J., Krishnan S. A review on transient thermal management of electronic devices //
J. Electron. Packag. 2022. Vol. 144(1). P. 3003-3012. DOI: 10.1115/1.4050002.
4. Bejan A. Constructal-theory network of conducting paths for cooling a heat generating volume //
Int. J. Heat Mass Transf. 1997. Vol. 40, № 4. P. 799-816. DOI: 10.1016/0017-9310(96)00175-5.
5. Hua Y.-C., Zhao T., Guo Z.-Y. Transient thermal conduction optimization for solid
sensible heat thermal energy storage modules by the Monte Carlo method //
Energy. 2017. Vol. 133. P. 338-347. DOI: 10.1016/j.energy.2017.05.073.
6. Chen K., Wang S., Song M. Optimization of heat source distribution for two-dimensional
heat conduction using bionic method //
Int. J. Heat Mass Transfer. 2016. Vol. 93. P. 108-117.
7. Birman V., Byrd L. W. Modeling and analysis of functionally graded materials and structures //
Applied Mechanics Reviews. 2007. Vol. 60, № 5. P. 195-216. DOI: 10.1115/1.2777164.
8. Suresh S., Mortensen A. Fundamentals of Functionally Graded Materials. London:
Cambridge Publication, 1998. 165 p. DOI: 10.1016/S1369-7021(98)80023.
9. Быков Ю. В., Егоров С. В., Еремеев А. Г. и др. Создание маталлокерамических функционально-градиентных
материалов спеканием при микроволновом нагреве //
Физика и химия обработки материалов. 2011. № 4. С. 52-61.
10. Gururaja U., Shrikantha R. S., Gangadharan K. V. Functionally graded composite materials: An overview //
Procedia Matherials Science. 2014. Vol. 5. P. 1291-1299. DOI: 10.1016/j.mspro.2014.07.442.
11. Dirker J., Meyer J. P.
Topology optimization for an internal heat-conduction cooling scheme in a square domain for high heat flux applications //
J. Heat Transfer. 2013. Vol. 135(11). DOI: 10.1115/1.4024615.
12. Cheng C. H., Chen Y. F.
Topology optimization of heat conduction paths by a non-constrained volume-of-solid function method //
Int. J. Therm. Sci. 2014. Vol. 78. P. 16-25. DOI: 10.1016/j.ijthermalsci.2013.11.011.
13. Dede E. M., Joshi S. N., Zhou F. Topology optimization, additive layer manufacturing,
and experimental testing of an air-cooled heat sink //
J. Mech. Des. 2015. Vol. 137(11). DOI: 10.1115/1.4030989.
14. Gersborg-Hansen A., Bendsoe M. P., Sigmund O.
Topology optimization of heat conduction problems using the finite volume method //
Struct. Multid. Optim. 2006. Vol. 31\,(4). P. 251-259. DOI: 10.1007/s00158-005-0584-3.
15. Dbouk T. A review about the engineering design of optimal heat transfer systems using topology optimization //
Appl. Therm. Eng. 2017. Vol. 112. P. 841-854. DOI: 10.1016/j.applthermaleng.2016.10.134.
16. Yongcun Z., Shutian L., Heting Q.
Design of the heat conduction structure based on the topology optimization // Developments in Heat Transfer, Dr. Marco Aurelio Dos Santos Bernardes (Ed.). 2011. P. 523-536. DOI: 10.5772/20060.
17. Баничук Н. В. Введение в оптимизацию конструкций. М: Наука, 1986. 304 с.
18. Tong Z.-X., Li M.-J., Yan J.-J., Tao W.-Q.
Optimizing thermal conductivity distribution for heat conduction problems with different optimization objectives //
Int. J. Heat Mass Transfer. 2018. Vol. 119. P. 343-354. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2017.11.108.
19. Братусь А. С, Картвелишвили В. М.
Приближенные аналитические решения в задачах оптимизации устойчивости и частот колебаний упругих тонкостенных конструкций //
Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1981. № 6. C. 119-139.
20. Sarkisyan V. S., Gukasyan G. M., Grigoryan A. A.
Optimal design of a circular plate with rectilinear anisotropy //
J. Math. Sci. 2001. Vol. 104, № 5. P. 1569-1574. DOI: 10.1023/A:1011300122949.
21. Саркисян B. C. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного тела.
Ереван: изд-во ЕрГУ, 1976. 536 с.
22. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф.
Математическая теория оптимальных процессов. М: Физматгиз, 1961. 394 с.
23. Warner W. H. Optimal design problems for elastic bodies by use of the maximum principle //
Journal of Elasticity. 2000. Vol. 59. P. 357-367. DOI: 10.1023/A:1011055305523.
24. Алехин В. В. Проектирование поперечно-слоистой консоли минимальной массы при ограничении
на максимальный прогиб // Прикладная механика и техническая физика. 2007. Т. 48, № 4. С. 104-110.
25. Ватульян А. О., Нестеров С. А. Коэффициентные обратные задачи термомеханики.
2-е изд., исправ. и доп. Ростов н/Д-Таганрог: Изд-во Южного федерального ун-та, 2022. 178 с.
26. Мерик Р. А. Оптимизация коэффициентов теплопроводности изотропных и ортотропных тел //
Теплопередача. 1985. № 3. С. 1-6.
27. Meric R. A. Material and load optimization by the adjoint variable method //
Trans. ASME. J. Heat Transfer. 1987. Vol. 109, № 3. P. 782-784.
28. Tian Z., Xuan W., Zeng-Yuan G. Optimal thermal conductivity design for the volume-to-point
heat conduction problem based on adjoint analysis //
Case Studies in Thermal Engineering. 2022. Vol. 40. P. 1-16. DOI: 10.1016/j.csite.2022.102471.
29. Ito K., Kunisch K. Lagrange Multiplier Approach To Variational Problems
and Applications. SIAM: 2008. 341 p. DOI: 10.2307/40590422
30. Nedin R., Nesterov S., Vatulyan A. On reconstruction of thermalphysic characteristics
of functionally graded hollow cylinder // Applied Mathematical Modelling. 2016. Vol. 40,
№ 4. P. 2711-2719. DOI: 10.1016/j.apm.2015.09.078.
