Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.46698/g9973-1253-2193-w
Определение коэффициента и ядра в \(d\)-мерном дробном интегро-дифференциальном уравнении
Рахмонов А. А.
Владикавказский математический журнал. 2024. Том 26. Выпуск 3.С.86-111.
Аннотация: Настоящая работа посвящена получению однозначного решения обратной задачи для многомерного дробно-временного интегро-дифференциального уравнения. В случае дополнительных данных рассмотрим обратную задачу. Неизвестный коэффициент и ядро однозначно определяются дополнительными данными. Используя теорему о неподвижной точке в подходящих пространствах Соболева, получены глобальные во времени результаты существования и единственности этой обратной задачи. В работе исследована слабая разрешимость нелинейной обратной краевой задачи для \(d\)-мерного дробного диффузионно-волнового уравнения с естественными начальными условиями. Сначала исследовались существование и единственность прямой задачи. Рассматриваемая проблема заключалась в сведена к вспомогательной обратной краевой задаче в определенном смысле и показана ее эквивалентность исходной задаче. Затем с использованием метода Фурье и принципа сжимающих отображений доказывается локальная теорема существования и единственности вспомогательной задачи. Далее на основе эквивалентности этих задач была установлена глобальная теорема существования и единственности слабого решения исходной обратной коэффициентной задачи для любого значения времени. Далее на основе эквивалентности этих задач была установлена глобальная теорема существования и единственности слабого решения исходной обратной коэффициентной задачи для любого значения времени.
Ключевые слова: дробное волновое уравнение, дробная производная Капуто, метод Фурье, функция Миттаг-Леффлера, неравенство Бесселя
Образец цитирования: Rahmonov, A. A. Determination of a Coefficient and Kernel in a \(d\)-Dimensional Fractional Integro-Differential Equation // Владикавк. мат. журн. 2024. Т. 26, № 3. C. 86-111 (in English). DOI 10.46698/g9973-1253-2193-w
1. Babenko, Y. I. Heat and Mass Transfer, Leningrad, Chemia, 1986.
2. Caputo, M. and Mainardi, F. Linear Models of Dissipation in Anelastic Solids,
La Rivista del Nuovo Cimento, 1971, vol. 1, no. 2, pp. 161-198.
DOI: 10.1007/BF02820620.
3. Gorenflo, R. and Mainardi, F. Fractional Calculus: Integral and Differential Equations
of Fractional Order, Fractals Fractional Calculus in Continuum Mechanics, Eds. A. Carpinteri,
F. Mainar, New York, Springer, 1997, pp. 223-276.
4. Gorenflo, R. and Rutman, R. On Ultraslow and Intermediate Processes,
Transform Methods and Special Functions, Eds. P. Rusev, I. Dimovski, V. Kiryakova, Singapore,
Science Culture Technology Publishing, 1995, pp. 61-81.
5. Jin, B. and Rundell, W. A Tutorial on Inverse Problems for Anomalous Diffusion Processes,
Inverse Problems, 2015, vol. 31, no. 3, p. 035003. DOI: 10.1088/0266-5611/31/3/035003.
6. Mainardi, F. Fractional calculus: Some Basic Problems in Continuum and Statistical Mechanics,
Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, Eds. A. Carpinteri, F. Mainardi,
New York, Springer, 1997, p. 291-348.
7. Beshtokov, M. Kh. and Erzhibova, F. A. On Boundary Value Problems for Fractional-Order
Differential Equations, Siberian Advances in Mathematics, 2021, vol. 31, no. 4, pp. 229-243.
DOI: 10.1134/S1055134421040015.
8. Klaseboer, E., Sun, Q. and Chan, D. Y. Non-Singular Boundary Integral Methods
for Fluid Mechanics Applications, Journal of Fluid Mechanics, 2012, vol. 696, pp. 468-478.
DOI: 10.1017/jfm.2012.71.
9. Ata, K. and Sahin, M. An Integral Equation Approach for the Solution
of the Stokes Flow with Hermite Surfaces, Engineering Analysis with Boundary Elements,
2018, vol. 96, pp. 14-22. DOI: 10.1016/j.enganabound.2018.07.017.
10. Kuzmina, K. and Marchevsky, I. The Boundary Integral Equation Solution in Vortex Methods
with the Airfoil Surface Line Discretization into Curvilinear Panels, Topical Problems
of Fluid Mechanics 2019, 2019, pp. 131-138. DOI:10.14311/TPFM.2019.019.
11. Lienert, M. and Tumulka, R. A New Class of Volterra-Type Integral Equations
from Relativistic Quantum Physics, Journal of Integral Equations and Applications,
2019, vol. 31, no. 4, pp. 535-569. DOI: 10.1216/JIE-2019-31-4-535.
12. Sidorov, D. Integral Dynamical Models: Singularities, Signals, and Control,
World Scientific, Singapore, 2014.
13. Abdou, M. A. and Basseem, M. Thermopotential Function in Position and Time
for a Plate Weakened by Curvilinear Hole, Archive of Applied Mechanics, 2022, vol. 92, no. 3, pp. 867-883.
DOI: 10.1007/s00419-021-02078-x.
14. Matoog, R. T. Treatments of Probability Potential Function for Nuclear Integral Equation,
Journal of Physical Mathematics, 2017, vol. 8, no. 2, pp. 2090-0902.
DOI: 10.4172/2090-0902.1000226.
15. Gao, J., Condon, M. and Iserles, A. Spectral Computation of Highly Oscillatory Integral
Equations in Laser Theory, Journal of Computational Physics, 2019, vol. 395, pp. 351-381.
DOI: 10.1016/j.jcp.2019.06.045.
16. Durdiev, D. K., Rahmonov A. A. and Bozorov Z. R. A Two-Dimensional Diffusion Coefficient Determination Problem
for the Time-Fractional Equation, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2021, vol. 44, pp. 10753-10761. DOI: 10.1002/mma.7442.
17. Subhonova Z. A. and Rahmonov, A. A. Problem of Determining the Time Dependent Coefficient
in the Fractional Diffusion-Wave Equation, Lobachevskii Journal of Mathematics,
2021, vol. 42, no. 15, pp. 3747-3760. DOI: 10.1134/s1995080222030209.
18. Kochubei, A. N. A Cauchy Problem for Evolution Equations of Fractional Order,
Differential Equations, 1989, vol. 25, pp. 967-974.
19. Kochubei, A. N. Fractional-Order Diffusion, Differential Equations, 1990, vol. 26, pp. 485-492.
20. Eidelman, S. D. and Kochubei, A. N. Cauchy Problem for Fractional Diffusion Equations,
Journal of Differential Equations, 2004, vol. 199, no. 2, pp. 211-255.
DOI: 10.1016/j.jde.2003.12.002.
21. Durdiev, D. K. and Rahmonov, A. A. A Multidimensional Diffusion Coefficient Determination
Problem for the Time-Fractional Equation, Turkish Journal of Mathematics, 2022, vol. 46, no. 6, pp. 2250-2263.
DOI: 10.55730/1300-0098.3266.
22. Yong Zhou. Fractional Evolution Equations and Inclusions: Analysis and Control,
Elsevier, 2016, 294 p.
23. Wei, T., Zhang, Y. and Gao, D. Identification of the Zeroth-Order Coefficient and Fractional
Order in a Time-Fractional Reaction-Diffusion-Wave Equation, Mathematical Methods in the Applied Sciences,
2022, vol. 46, no. 1, pp. 142-166. DOI: 10.1002/mma.8499.
24. Lorenzi, A. and Sinestrari, E. An Inverse Problem in the Theory of Materials with Memory,
Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 1988, vol. 12, no. 12, pp. 411-423.
DOI: 10.1016/0362-546X(88)90080-6.
25. Grasselli M., Kabanikhin S. I. and Lorenzi A. An Inverse Hyperbolic Integro-Differential
Problem Arising in Geophysics II, Nonlinear Analysis: Theory,
Methods and Applications, 1990, vol. 15, pp. 283-298.
26. Wang, H. and Wu, B. On the Well-Posedness of Determination of
Two Coefficients in a Fractional Integro-Differential Equation,
Chinese Annals of Mathematics, Series B 2014, vol. 35, no. 3, pp. 447-468.
DOI: 10.1007/s11401-014-0832-1.
27. Kilbas, A. A., Srivastava, H. M. and Trujillo, J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations,
Amsterdam, Elsevier, 2006.
28. Adams, R. A. Sobolev Spaces, New York, Academic Press, 1975.
29. Pazy, A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Applied Mathematical Sciences, vol. 44, New York, Springer Science and Business Media, 2012.
30. Brezis, H. Functional Analysis, Sobolev Spaces, and Partial Differential Equations,
Springer, 2010, 614 p.
31. Djrbashian, M. M. Integral Transforms and Representations of Functions in the Complex Domain,
Moscow, Nauka, 1966, 672 p. (in Russian).
32. Sakamoto, K. and Yamamoto, M. Initial Value/Boundary Value Problems for Fractional Diffusion-Wave
Equations and Applications to Some Inverse Problems, Journal of Mathematical Analysis and Applications,
2011, vol. 382, no. 1, pp. 426-447. DOI: 10.1016/j.jmaa.2011.04.058.
33. Wu, B. and Wu, S. Existence and Uniqueness of an Inverse Source Problem
for a Fractional Integro-Differential Equation, Computers and Mathematics with Applications,
2014, vol. 68, no. 10, pp. 1123-1136. DOI: 10.1016/j.camwa.2014.08.014.
