Аннотация: Построено асимптотическое решение краевой задачи для двух квазилинейных уравнений гиперболического типа, описывающих поведение поперечной электромагнитной волны (TEM-волны) в нелинейной сплошной среде, когда зависимость поляризации \(P\) от напряженности электрического поля \(E\) (физическая нелинейность) имеет вид \(P = \varepsilon_0(\chi_1 E + \chi_2 E^2 + \chi_3 E^3)\), где \(\chi_1\), \(\chi_2\), \(\chi_3\) - диэлектрические восприимчивости, \(\varepsilon_0\) - диэлектрическая проницаемость вакуума. Главный член асимптотики построен в двух случаях: (i) \(\chi_1 = O(1)\), \(\chi_2 \to 0\), \(\chi_3 = 0\) (анизотропная сплошная среда), (ii) \(\chi_1 = O(1)\), \(\chi_2 = 0\), \(\chi_3 \to 0\) (изотропная сплошная среда), хотя один из использованных методов построения асимптотики без труда переносится и на случай (iii) \(\chi_1 = O(1)\), \(\chi_2 \to 0\), \(\chi_3 \to 0\). В случае (\textrm{i}) асимптотика при \(\chi_2 \to 0\) строится двумя способами. В первом варианте используется непосредственное разложение в ряд по малому параметру точного неявного решения краевой задачи с последующим численным построением явного решения на линиях уровня неявного решения (главного члена асимптотики неявного решения). Во втором варианте разложения в ряды по параметру проводятся на всех этапах, предшествующих построению точного неявного решения, что приводит к неявному решению, отличному от точного, но главный член асимптотики нового и прежнего решения совпадают. Эквивалентность двух указанных вариантов далеко неочевидна, в частности, точное неявное решение содержит гипергеометрическую функцию Гаусса, а асимптотическое неявное решение - функцию Бесселя. В случае (ii) асимптотику при \(\chi_3 \to 0\) возможно построить лишь вторым способом, проводя разложение по параметру на всех этапах построения неявного решения. Первый вариант конструирования асимптотики непременим, ввиду того, что точное неявное решение не удается построить. Для построения решения краевой задачи о поведении TEM-волн, как точного, так и асимптотического, использован метод годографа на основе закона сохранения для системы двух квазилинейных гиперболических уравнений типа \(1 + 1\) в частных производных первого порядка. Метод позволяет преобразовать систему квазилинейных уравнений в одно линейное уравнение в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами. Эффективность метода зависит от наличия явных соотношений, связывающих исходные переменные с инвариантами Римана, а также от наличия явного выражения для функции Римана - Грина линейного дифференциального уравнения. В случаях (i), (ii) указанные условия выполняются. Представленные результаты позволяют детально проследить эволюцию TEM-волн в нелинейных средах, например, коаксиальных волноводах или в распределенных идеальных линиях передач, в частности, определить момент времени (и пространственную координату) при котором возможно возникновение ударных электромагнитных волн.
Ключевые слова: системы квазилинейных гиперболических уравнений, инварианты Римана, функция Римана - Грина, метод годографа, асимптотические разложения
Образец цитирования: Гетман В. А., Долгих Т. Ф., Жуков М. Ю. Асимптотика решения краевой задачи о поперечной нелинейной электромагнитной волне // Владикавк. мат. журн. 2025. Т. 27, вып. 4. С. 5-20. DOI 10.46698/e7486-7095-0322-l
1. Жуков М. Ю., Ширяева Е. В., Долгих Т. Ф. Метод годографа для решения гиперболических и эллиптических квазилинейных уравнений. Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2015. 126 c.
2. Senashov S. I., Yakhno A. Conservation laws, hodograph transformation and boundary
value problems of plane plasticity // SIGMA. 2012. Vol. 8, 071. 16 p.
DOI: 10.3842/SIGMA.2012.071.
3. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978. 668 с.
4. Катаев И. Г. Ударные электромагнитные волны. М: Советское радио, 1963. 152 с.
5. Гапонов А. В., Островский Л. А., Фрейдман Г. И. Ударные электромагнитные волны // Изв. вузов. Радиофизика. 1967. Т. 10, № 9. С. 1376-1413.
6. Журавлев В. М. Многомерные нелинейные волновые уравнения с многозначными решениями // Теорет. и мат. физ. 2013. T. 174, № 2. С. 272-284. DOI: 10.4213/tmf8391.
7. Журавлев В. М. Опрокидывающиеся электромагнитные волны в средах с сильной нелинейностью // Изв. вузов. Приволж. регион. Физ.-мат. науки. 2013. № 3(27). С. 117-135.
8. Журавлев В. М. Многомерные квазилинейные уравнения первого порядка и многозначные решения уравнений гиперболического и эллиптического типов // Теорет. и мат. физ. 2016. T. 186, № 3. С. 371-385. DOI: 10.4213/tmf8889.
9. Царев С. П. Геометрия гамильтоновых систем гидродинамического типа. Обобщенный метод годографа // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1990. T. 54, № 5. C. 1048-1068.
10. Долгих Т. Ф. Жуков М. Ю. Варианты метода годографа для решения системы двух квазилинейных уравнений // Владикавк. мат. журн. 2021. Т. 23, № 2. С. 34-50. DOI: 10.46698/x8869-5899-2064-l.
11. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: учеб. пособ. для вузов в 10 т. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред, 4-е изд. М.: Физматлит, 2005. 656 с.
12. Donato A., Fusco O. D. Some Applications of the Riemann method to
electromagnetic wave propagation in nonlinear media // ZAMM 60. 1980. P. 539-542.
13. Shiryaeva E. V., Zhukov M. Yu. Hodograph Method and Numerical Integration of Two Hyperbolic Quasilinear Equations. Part I. The Shallow Water Equations. 2014. arXiv: 1410.2832.
14. Shiryaeva E. V., Zhukov M. Yu. Hodograph Method and Numerical Solution of the Two Hyperbolic Quasilinear Equations System. Part II. Zonal Electrophoresis Equations. 2014. arXiv: 1503.01762.
15. Shiryaeva E. V., Zhukov M. Yu. Hodograph Method and Numerical Integration of Two Quasilinear Hyperbolic Equations. Part III. Two-Beam Reduction of the Dense Soliton Gas Equations. 2014. arXiv: 1512.06710.
16. Долгих Т. Ф. Решение задачи о переносе массы под действием электрического поля в двухкомпонентной смеси // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2017. № 3-1\,(195-1). С. 28-35. DOI: 10.23683/0321-3005-2017-3-1-28-35.
17. Долгих Т. Ф. Метод годографа для решения задачи о мелкой воде под твердой крышкой //
Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2021. № 1. С. 15-24.
DOI: 10.18522/1026-2237-2021-1-15-24.
18. Жуков М. Ю., Долгих Т. Ф. Математические модели жидкости, газа и переноса электрическим полем в многокомпонентных химически активных средах // Математический форум. Т. 13. Современные проблемы математики и математического образования. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2020. С. 87-104. (Итоги науки. Юг России).
19. Долгих Т. Ф., Жуков М. Ю. Метод годографа для решения задачи о мелкой воде
под твердой крышкой в случае гиперболических уравнений // Прикл. матем. и мех. 2022. Т. 86, № 1. С. 18-34. DOI: 10.31857/S0032823522010039.
20. Долгих Т. Ф., Жуков М. Ю. Метод годографа для решения задачи
об опрокинутой мелкой воде // Журн. вычисл. матем. и мат. физ. 2022. Т. 62, № 1. C. 113-123. DOI: 10.31857/S0044466922010069.
21. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 c.
22. Copson E. T. On the Riemann-Green function //
Arch. Ration. Mech. Anal. 1958. Vol. 1. P. 324-348. DOI: 10.1007/BF00298013.
23. Ибрагимов Н. Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // Успехи мат. наук. 1992. Т. 47, № 4(286). С. 83-144.
24. Zeitsch P. J. On the Riemann function // Mathematics. 2018. Vol. 6(12), № 316. DOI: 10.3390/math6120316.
25. Daggit E. A. The use of infinitesimal transformations in predicting
the form of the Riemann (-Green) function // J. Math. Anal. Appl. 1970. № 29. P. 91-108.
26. Капцов О. В. Методы интегрирования уравнений с частными
производными. М.: Физматлит, 2009. 184 с.
27. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 339 с.
28. Morad A. M., Zhukov M. Yu. The motion of a thin liquid layer on the outer surface of a rotating cylinder // Eur. Phys. J. Plus. 2015. Vol. 130. Art. 8.
29. Беспрозванных В. Г., Первадчук В. П. Нелинейная оптика: учеб. пособие. Пермь: Изд-во Перм. гос. тех. ун-та, 2011. 200 с.
30. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. М.: Мир. 1996. 323 с.
31. Цернике Ф., Мидвинтер Дж. Прикладная нелинейная оптика. М.: Мир. 1976. 261 с.
32. Isoard M., Kamchatnov A. M. Pavloff N. Dispersionless Evolution of Inviscid Nonlinear Pulses. 2019.-arXiv: 1912.04559v1 [nlin.PS]. 7 p.
33. Ludford G. S. S. On an extension of Riemann's method of integration
with applications to one-dimensional gas dynamics //
Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1952. Vol. 48, № 3 P. 499-510.
DOI: 10.1017/S0305004100027900.
34. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Советское радио. 1977. 368 с.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
