Аннотация: Уравнение Лапласа изучалось в несколько этапов и получило бурное развитие в течение последних десятилетий. Начиная с хорошо известного стандартного уравнения \(\Delta u=0\), которое хорошо изучено во всех аспектах, были усилены многие результаты и найдены новые постановки. Переход к \(p\)-уравнению Лапласа \(\Delta_p u = 0\) с постоянным параметром, будь то в стационарных или эволюционных системах, привел к беспрецедентному развитию и почти исчерпывающему исследованию. В данной статье мы рассматриваем начальную задачу для нелинейного волнового уравнения, содержащего \(p\)-лапласиан. Методом от противного доказано, что класс решений с отрицательной начальной энергией взрывается за конечное время, если \(p\geq r\geq m\). Чтобы получить основной вывод, необходимо обойти дополнительные трудности, связанные с постоянными показателями в \(\mathbb{R}^n\). Получено условие на начальные данные, при которых решение исчезает за конечное время. В отсутствие функции плотности наша система сводится к нелинейному уравнению затухающей волны, которое в ограниченной области активно изучалось многими математиками.
Ключевые слова: взрыв, конечное время, нелинейное затухание, уравнение \(p\)-Лапласа, весовые пространства
Образец цитирования: Belhadji, B., Beniani, A. and Zennir, Kh. Blow-up result for a class of wave \(p\)-Laplace equation with nonlinear dissipation in \(\mathbb{R}^{n}\) // Владикавк. мат. журн. 2021. Т. 23, № 1. C. 11-19 (in English). DOI 10.46698/v5952-0493-6386-z
1. Georgiev, V. and Todorova, G. Existence of a Solution of the Wave Equation
with Nonlinear Damping and Source Term, Journal of Differential Equations,
1994, vol. 109, no. 2, pp. 295-308. DOI: 10.1006/jdeq.1994.1051.
2. Levine, H. A. and Serrin, J. Global Nonexistence Theorems for Quasilinear
Evolution Equations with Dissipation, Archive for Rational Mechanics and Analysis,
1997, vol. 137, no. 4, pp. 341-361. DOI: 10.1007/s002050050032.
3. Levine, H. A., Park, S. R. and Serrin, J. Global Existence
and Global Nonexistence of Solutions of the Cauchy Problem for
a Nonlinearly Damped Wave Equation, Journal of Mathematical Analysis and Applications,
1998, vol. 228, no. 1, pp. 181-205. DOI: 10.1006/jmaa.1998.6126.
4. Vittilaro, E. Global Nonexistence Theorems for a Class
of Evolution Equation with Dissipation, Archive for Rational Mechanics and Analysis,
1999, vol. 149, no. 2, pp. 155-182. DOI: 10.1007/s002050050171.
5. Lazer, A. C. and McKenna, P. J. Large-Amplitude Periodic Oscillations in Suspension Bridges:
Some New Connections with Nonlinear Analysis, SIAM Review,
1990, vol. 32, no. 4, pp. 537-578. DOI: 10.1137/1032120.
6. Georgoulis, E. H. and Houston, P. Discontinuous Galerkin Mmethods for the Biharmonic Problem,
IMA Journal of Numerical Analysis,
2009, vol 29, no. 3, pp. 573-594.
DOI: 10.1093/imanum/drn015.
7. Pryer, T. Discontinuous Galerkin Methods for the \(p\)-Biharmonic Equation
from a Discrete Variational perspective,
Electronic Transactions On Numerical Analysis,
2014, vol. 41, pp. 328-349. ArXiv: 1209.4002.
8. Kassash Laouar, L. and Zennir, Kh. Energy Decay Result for a Nonlinear Wave
\(p\)-Laplace Equation with a Delay Term,
Mathematica Applicanda, 2017, vol. 45, no. 1, pp. 65-80.
DOI: 10.14708/ma.v45i1.603.
9. Komornik, V. Rapid Boundary Stabilization of Linear Distributed Systems,
SIAM Journal on Control and Optimization,
1997, vol. 35, no. 5, pp. 1591-1613.
DOI: 10.1137/S0363012996301609.
10. Martinez, P. A New Method to Obtain Decay Rate Estimates for Dissipative Systems,
ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations,
1999, vol. 4, pp. 419-444. DOI: 10.1051/cocv:1999116.
11. Nakao, M. and Ono, K. Global Existence to the Cauchy Problem of the Semilinear
Wave Equation with a Nonlinear Dissipation, Funkcialaj Ekvacioj,
1995, vol. 38, pp. 417-431.
12. Papadopulos, P. G. and Stavrakakies, N. M.
Global Existence and Blow-Up Results for an Equations
of Kirchhoff Type on \(\mathbb{R^{n}}\),
Topological Methods in Nonlinear Analysis,
2001, vol. 17, pp. 91-109. DOI: 10.12775/TMNA.2001.006.
13. Reed, M. and Simon, B.Methods of Mathematical Physics III:
Scattering Theory, Academic Press, New York, 1979.
14. Tebou, L. Energy Decay Estimates for Some Weakly Coupled
Euler-Bernoulli and Wave Equations with Indirect Damping Mechanisms,
Mathematical Control & Related Fields, 2012, vol 2, no. 1, pp. 45-60.
DOI: 10.3934/mcrf.2012.2.45.
15. Van Der Vorst, R. C. A. M. Best Constant for the Embedding of the Space \(H^2\cap H^1_0(\Omega)\)
into \(L^{2n/n-4}(\Omega)\), Differential and Integral Equations, 1993, vol. 6, no. 2, pp. 259-276. URL: https://projecteuclid.org/ euclid.die/1370870189.
16. Karachalios, N. I. and Stavrakakis, N. M. Global Existence and Blow Up Results for
Some Nonlinear Wave Equations on \(\mathbb{R^{n}}\),
Advances in Differential Equations, 2001, vol. 6, no. 2, pp. 155-174.
URL: https://projecteuclid.org/euclid.ade/1357141492.
