Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.46698/m8501-0316-5751-a
Функционально-дифференциальное уравнение с растяжением и поворотом
Товсултанов А. А.
Владикавказский математический журнал. 2021. Том 23. Выпуск 1.С.77-87.
Аннотация: В статье рассматривается краевая задача в ограниченной плоской области для функционально-дифференциального уравнения второго порядка, содержащего комбинацию растяжений и поворотов старших производных искомой функции. Найдены необходимые и достаточные условия в алгебраической форме выполнения неравенства типа Гординга, обеспечивающего однозначную (фредгольмову) разрешимость, дискретность и секториальную структуру спектра задачи Дирихле. В литературе в данной ситуации принят термин сильно эллиптическое уравнение. Вывод упомянутых условий, выражаемых непосредственно через коэффициенты уравнения, основан на комбинации преобразований Фурье и Гельфанда элементов коммутативной \(B^*\)-алгебры, порожденной операторами растяжения и поворота. Основной момент здесь - выяснение структуры пространства максимальных идеалов этой алгебры. Доказано, что пространство максимальных идеалов гомеоморфно прямому произведению спектров оператора растяжения (окружность) и оператора поворота (вся окружность в случае, когда угол поворота \(\alpha\) несоизмерим с \(\pi\), и конечный набор точек на окружности, когда \(\alpha\) соизмерим с \(\pi\)). Такое различие между двумя случаями для \(\alpha\) приводит к тому, что в зависимости от \(\alpha\) условия однозначной разрешимости краевой задачи могут иметь существенно разный вид и, например, для \(\alpha\) соизмеримого с \(\pi\), могут зависеть не только от абсолютной величины, но и от знака коэффициента при слагаемом с поворотом.
Ключевые слова: эллиптическое функционально-дифференциальное уравнение, краевая задача
Образец цитирования: Товсултанов А. А. Функционально-дифференциальное уравнение с растяжением и поворотом // Владикавк. мат. журн. 2021. Т. 23, вып. 1. С.77-87. DOI 10.46698/m8501-0316-5751-a
1. Skubachevskii A. L. The first boundary value problem for strongly elliptic
differential-difference equations //
J. Differ. Equt. 1986. Vol. 63, № 3. P. 332-361.
DOI: 10.1016/0022-0396(86)90060-4.
2. Skubachevskii A. L. Elliptic Functional-Differential Equations and
Applications. Basel: Birkhauser Verlag, 1997. (Oper. Theory Adv. Appl.
Vol. 91). DOI: 10.1007/978-3-0348-9033-5.
3. Скубачевский А. Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных
уравнений и их приложения // Успехи мат. наук. 2016. Т. 71, № 5. С. 3-112.
DOI: 10.4213/rm9739.
4. Onanov G. G., Skubachevskii A. L. Nonlocal problems in the mechanics of three-layer shells //
Math. Model. Nat. Phenom. 2017. Vol. 12, № 6. P. 192-207. DOI: 10.1051/mmnp/2017072.
5. Kate T., McLeod J. B. Functional differential equation \(\dot{y}=ay(\lambda t)+by(t)\) //
Bull. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 77, № 6. P. 891-937.
DOI: 10.1090/S0002-9904-1971-12805-7.
6. Ockendon J. R., Tayler A. B. The dynamics of a current collection system
for an electric locomotive // Proc. Royal Soc. London A. Math. Phys. Sci.
1971. Vol. 322, № 1551. P. 447-468. DOI: 10.1098/rspa.1971.0078.
7. Амбарцумян В. А. К теории флуктуаций яркости в млечном пути //
Докл. АН СССР. 1944. Т. 44, № 6. С. 244-247.
8. Hall A. J., Wake G. C. A functional differential equation arising in the modeling of cell growth //
J. Austral. Math. Soc. Ser. B. Appl. Math. 1989. Vol. 30, № 4. P. 424-435.
DOI: 10.1017/ S0334270000006366.
9. Mahler K. On a special functional equation //
J. London Math. Soc. 1940. Vol. 15, № 2. P. 115-123.
DOI: 10.1112/jlms/s1-15.2.115.
10. Gaver D. P. An absorption probability problem //
J. Math. Anal. Appl. 1964. Vol. 9, № 3. P. 384-393.
DOI: 10.1016/0022-247X(64)90024-1.
11. Савин А. Ю., Стернин Б. Ю. Эллиптические задачи с растяжениями-сжатиями
на многообразиях с краем // Диф. уравнения. 2016. Т. 52, № 10. С. 1383-1392.
DOI: 10.1134/S0374064116100113.
12. Россовский Л. Е. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения
со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции //
Соврем. Математика. Фундам. науки. 2014. Т. 54. С. 3-138.
13. Россовский Л. Е., Тасевич А. Л. Первая краевая задача для сильно эллиптического
функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями //
Мат. заметки. 2015. Т. 97, № 5. С. 733-748. DOI: 10.4213/mzm10654.
14. Rossovskii L. E. Elliptic functional differential equations with
incommensurable contractions // Math. Model. Nat. Phenom. 2017. Vol. 12, № 6. P. 226-239.
DOI: 10.1051/mmnp/2017075.
15. Rossovskii L. E., Tovsultanov A. A. Elliptic functional differential equations
with affine transformations // J. Math. Anal. Appl. 2019. Vol. 480, № 2. 123403.
DOI: 10.1016/j.jmaa.2019.123403.
16. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.
