Аннотация: В данной работе рассматривается первая краевая задача для уравнения Аллера дробного по времени порядка с обобщенными функциями памяти. Для численного решения поставленной задачи построены две разностные схемы повышенного порядка аппроксимации. В случае переменных коэффициентов предложена разностная схема второго порядка аппроксимации, как по времени, так и по пространству. А для обобщенного уравнения Аллера с постоянными коэффициентами предложена компактная разностная схема четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной и второго порядка по времени. Методом энергетических неравенств получены априорные оценки для решений предложенных разностных схем. Доказана их безусловная устойчивость и сходимость. Показано, что скорость сходимости совпадает с порядком погрешности аппроксимации в случае достаточно гладкого решения исходной задачи. На базе предложенных алгоритмов проведены численные расчеты тестовых задач, подтверждающие полученные теоретические результаты. Все вычисления выполнялись с помощью языка программирования Julia v1.5.1.
Образец цитирования: Алиханов А. А., Апеков А. М., Хибиев А. Х. Разностная схема повышенного порядка аппроксимации для обобщенного уравнения Аллера дробного порядка // Владикавк. мат. журн. 2021. Т. 23, вып. 3. С. 5-15.
DOI 10.46698/p3608-5250-8760-g
1. Samko S. G, Kilbas A. A. and Marichev O. I. Fractional Integrals
and Derivatives: Theory and Applications. Florida: CRC Press, 1993. 1006 p.
2. Oldham K. B., Spanier J. The Fractional Calculus. N. Y.: Academic Press, 1974. 322 p.
3. Podlubny I. Fractional Differential Equations. San Diego: Academic Press, 1999. 340 p.
4. Hilfer R. Applications of Fractional Calculus in Physics. Singapore: World Scientific, 2000. 472 p.
5. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo, J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations.
Amsterdam: Elsevier, 2006. 540 p.
6. Alikhanov A. A. Boundary value problems for the diffusion equation of the variable order in differential and difference settings // Appl. Math. Comput. 2012. Vol. 219, № 8. P. 3938-3946. DOI: 10.1016/j.amc.2012.10.029.
7. Alikhanov A. A. Numerical methods of solutions of boundary value problems for the multi-term variable-distributed order diffusion equation // Appl. Math. Comput. 2015. Vol. 268. P. 12-22. DOI: 10.1016/j.amc.2015.06.045.
8. Sandev T., Chechkin A., Kantz H., Metzler R. Diffusion and Fokker-Planck-Smoluchowski equations with generalized memory kernel // Fract. Calc. Appl. Anal. 2015. Vol. 18, № 4. P. 1006-1038. DOI: 10.1515/fca-2015-0059.
9. Alikhanov A. A. A priori estimates for solutions of boundary value problems for fractional-order equations // Differ. Equ. 2011. Vol. 46, № 5. P. 660-666. DOI: 10.1134/S0012266110050058.
10. Alikhanov A. A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation // J. of Comp. Phys. 2015. Vol. 280. P. 424-438. DOI: 10.1016/j.jcp.2014.09.031.
11. Alikhanov A. A. Stability and convergence of difference schemes for boundary value problems for the fractional-order diffusion equation // Comput. Math. and Math. Phys. 2016. Vol. 56, № 4. P. 561-575. DOI: 10.1134/S0965542516040035.
12. Alikhanov A. A. A time-fractional diffusion equation with generalized memory kernel in differential and difference settings with smooth solutions // Comput. Methods Appl. Math. 2017. Vol. 17, № 4. P. 647-660. DOI: 10.1515/cmam-2017-0035.
13. Alikhanov A., Beshtokov M., Mehra M. The Crank-Nicolson type compact difference scheme for a loaded time-fractional Hallaire's equation // Frac. Calc. Appl. Anal. 2021. Vol. 24, № 4. P. 1231-1256. DOI: 10.1515/fca-2021-0053.
14. Gao G. H., Alikhanov A. A., Sun Z. Z. The temporal second order difference schemes based on the interpolation approximation for solving the time multi-term and distributed-order fractional sub-diffusion equations // J. Sci. Comput. 2017. Vol. 73, № 1. P. 93-121. DOI: 10.1007/s10915-017-0407-x.
15. Хибиев А. Х. Устойчивость и сходимость разностных схем для уравнения диффузии дискретно-распределенного порядка с обобщенными функциями памяти // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2019. T. 23, № 3. С. 582-597. DOI: 10.14498/vsgtu1690.
16. Khibiev A., Alikhanov A., Huang C. A second order difference scheme for time fractional diffusion equation with generalized memory kernel. 2021. arXiv:2108.10596 [cs, math].
