Аннотация: Статья посвящена построению равномерных асимптотик решений уравнения 3-го порядка с голоморфными коэффициентами с произвольной иррегулярной особенностью в пространстве функций экспоненциального роста. В общем виде задача построения асимптотик решений дифференциальных уравнений в окрестностях иррегулярных особых точек была сформулированна Пуанкаре в его статьях посвященных аналитической теории дифференциальных уравнений. Задача построения асимптотик для уравнений с вырождениями произвольного порядка в случае кратных корней решена только для некоторых частных случаев, например, когда уравнение имеет второй порядок. Основным методом решения задачи для уравнений с вырождениями старших порядков являются метод повторного квантования, основанный на преобразовании Лапласа - Бореля, который был создан для построения асимптотик решений дифференциальных уравнений в окрестности иррегулярных особых точек в случае, когда основной символ дифференциального оператора имеет кратные корни. Задача о построении асимптотик решений уравнений старших порядков значительно сложнее. Для ее решения применяется метод повторного квантования, который не потребовался при решении аналогичной задачи для уравнений 2-го порядка. Здесь решается модельная задача, которая является важным следующим шагом к решению общей проблемы сформулированной Пуанкаре, проблемы построения асимптотик решений в окрестности произвольной иррегулярной особой точки для уравнения произвольного порядка. Задача дальнейших исследований состоит в обобщении метода решения, изложенного в статье на уравнения произвольных порядков.
Образец цитирования: Коровина М. В., Матевосян О. А., Смирнов И. Н. Асимптотики решений уравнения 3-го порядка в окрестности иррегулярной особой точки // Владикавк. мат. журн. 2024. Т. 26, вып. 1. C. 106-122.
DOI 10.46698/h0288-6649-3374-o
1. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. Том. III. Математика. Теоретическая физика. Анализ математических и естественнонаучных работ Анри Пуанкаре. М.: Наука, 1974. 772 с.
2. Найфэ А. Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.
3. Korovina M. V., Matevossian H. A. Uniform asymptotics of solutions of second-order differential equations with meromorphic coefficients in a neighborhood of singular points and their applications // Mathematics. 2022. Vol. 10, № 14. P. 2465. DOI: 10.3390/math10142465.
4. Korovina M. V. Asymptotics of solutions of linear differential equations with holomorphic coefficients in the neighborhood of an infinitely distant point // Mathematics. 2020. Vol. 8, № 12. P. 2249. DOI: 10.3390/math8122249.
5. Korovina M. V. Uniform asymptotics of solutions of the linear differential equations with holomorphic coefficients in a neighborhood of an infinitely distant point // Lobachevskii J. Math. 2023. Vol. 44, № 7. P. 2765-2780.
DOI: 10.1134/s1995080223070260.
6. Кац Д. С. Вычисление асимптотик решений уравнений с полиномиальными вырождениями коэффициентов // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. С. 1612-1617.
7. Кондратьев В. А. Краевые задачи для параболических уравнений в замкнутых областях // Труды Моск. матем. о-ва. 1966. Т. 15. С. 400-451.
8. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды Моск. матем. о-ва. 1967. Т. 16. С. 209-292.
9. Матевосян О. А. О решениях смешанных краевых задач для системы теории упругости в неограниченных областях // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. Т. 67, № 5. С. 49-82. DOI: 10.4213/im451.
10. Matevossian H. A. On the Steklov-type biharmonic problem in unbounded domains //
Russian J. Math. Phys. 2018. Vol. 25, № 2. P. 271-276.
DOI: 10.1134/S1061920818020115.
11. Korovina M. V. Application of resurgent analysis to the construction of asymptotics of linear differential equations with degeneration in coefficients // J. Math. Sci. 2022. Vol. 257, № 1. P. 61-73. DOI: 10.1007/s10958-021-05470-8.
12. Коровина М. В. Метод повторного квантования и его применения к построению асимптотик решений уравнений с вырождением // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 1. С. 60-77.
13. Korovina M. V., Matevossian H. A., Smirnov I. N. Uniform asymptotics of solutions of the wave operator with meromorphic coefficients // Applicable Analysis. 2023. Vol. 102, № 1. P. 239-252. DOI: 10.1080/00036811.2021.1949455.
14. Matevossian H. A., Korovina M. V., Vestyak V. A. Asymptotic behavior of solutions of the cauchy problem for a hyperbolic equation with periodic coefficients (case: \(H_0 > 0\)) // Mathematics. 2022. Vol. 10, № 16. P. 2963. DOI: 10.3390/math10162963.
15. Matevossian H. A., Korovina M. V., Vestyak V. A. Asymptotic behavior of solutions of the Cauchy problem for a hyperbolic equation with periodic coefficients II // Axioms. 2022. Vol. 11, № 9. P. 473. DOI: 10.3390/axioms11090473.
16. Matevossian H. A., Smirnov V. Yu. Behavior as \(t\to\infty\) of solutions of a mixed problem for a hyperbolic equation with periodic coefficients on the semi-axis // Symmetry. 2023. Vol. 15, № 3. P. 777. DOI: 10.3390/sym15030777.
17. Sternin B. Yu., Shatalov V. E. Borel-Laplace Transform and Asymptotic Theory. Introduction
to Resurgent Analysis. Boca Raton, FL.: CRC Press, 1996.
18. Коровина М. В. Асимптотики решений уравнений с высшими вырождениями // Дифференц. уравнения. 2012.
Т. 48, № 5. С. 710-722.
19. Коровина М. В. Cуществование ресургентного решения для уравнений с вырождением высших порядков // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 3. С. 349-357.
20. Ecalle J. Les Fonctions Resurgentes. Vol I, II, III. Paris.: Publ. Math. Orsay, 1981-1985.
21. Korovina M., Smirnov I., Smirnov V. On a problem arising in application of the re-quantization method to construct asymptotics of solutions to linear differential equations with holomorphic coefficients at infinity // Math. Comput. Appl. 2019. Vol. 24, № 1. P. 16. DOI: 10.3390/mca24010016.
22. Avsyankin O. Asymptotic behavior of solutions of integral equations with homogeneous kernels //
Mathematics. 2022. Vol. 10, № 2. P. 180. DOI: 10.3390/math10020180.
