Аннотация: Данная заметка продолжает цикл исследований, инициированных работой [1]. В статье рассматривается подкласс так называемых "нерасширяющих" ортогонально аддитивных операторов, заданных на комплексификации \(E_{\mathbb{C}}\) равномерно полной векторной решетки и принимающих значения в \(E\). Будем говорить, что ортогонально аддитивный оператор \(\mathcal{T}\colon E_{\mathbb{C}}\to E\) является нерасширяющим, если \(\mathcal{T}(w)\in \{|w|\}^{\perp\perp}\) для каждого элемента \(w\) из \(E_{\mathbb{C}}\). Вводится и изучается класс элементарных нерасширяющих операторов, которые представляют собой комплексные расширения \(\mathcal{T}_{T,S}\), построенные из пар вещественных операторов \(T, S\colon E \to E\), коммутирующих со всеми нерасширяющими проекторами. Показано, что такие операторы не только являются нерасширяющими, но и регулярны. Представлено несколько примеров таких операторов и установлено, что действительное векторное пространство
\(\mathcal{N}(E_{\mathbb{C}}, E)\) всех элементарных нерасширяющих ортогонально аддитивных операторов является подрешеткой \(\mathcal{OA}_r(E_{\mathbb{C}}, E)\) - порядково полной векторной решетки всех регулярных ортогонально аддитивных операторов из \(E_{\mathbb{C}}\) в \(E\). Показано, что операции решетки в этой подрешетке вычисляются поточечно, отражая структуру пространства \(E\), с явными формулами для супремума, инфимума, положительной части, отрицательной части и модуля. Кроме того, установлено, что \(\mathcal{N}(E_{\mathbb{C}}, E)\) содержится в полосе, порожденной комплексным расширением единичного оператора \(\{\mathcal{T}_{I,I}\}^{\perp\perp}\).
Образец цитирования: Abasov, N. and Gutnova, A. On Band Preserving Operators on Complex Vector Lattices // Владикавк. мат. журн. 2026. Т. 28, № 1. C. 7-15 (in English). DOI 10.46698/h7168-4322-6544-h
1. Pliev, M. and Sukochev, F. Orthogonally Additive Operators on Complex Vector Lattices,
Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2025, vol. 541, no. 2, article no. 128719.
DOI: 10.1016/ j.jmaa.2024.128719.
2. Boulabiar, K. Recent Trends on Order Bounded Disjointness Preserving Operators,
Irish Mathematical Society Bulletin, 2008, vol. 62, pp. 43-69.
DOI: 10.33232/BIMS.0062.43.69.
3. Mazon, J. M. and Segura de Leon, S. Order Bounded Orthogonally Additive Operators,
Romanian Journal of Pure and Applied Mathematics, 1990, vol. 35, no. 4, pp. 329-353.
4. Erkursun Ozcan, N. and Pliev, M. On Orthogonally Additive Operators in \(C\)-Complete Vector Lattices,
Banach Journal of Mathematical Analysis, 2022, vol. 16, article no. 6. DOI: 10.1007/s43037-021-00158-2.
5. Feldman, W. A. A Factorization for Orthogonally Additive
Operators on Banach Lattices, Journal of Mathematical Analysis and Applications,
2019, vol. 472, no. 1, pp. 238-245. DOI: 10.1016/ j.jmaa.2018.11.021.
6. Fotiy, O., Kadets, V. and Popov, M. Some Remarks on Orthogonally Additive Operators,
Positivity, 2023, vol. 27, article no. 57. DOI: 10.1007/s11117-023-01008-1.
7. Mykhaylyuk, V. and Popov, M. \(\varepsilon\)-Shading Operator on Riesz Spaces
and Order Continuity of Orthogonally Additive Operators,
Results in Mathematics, 2022, vol. 77, article no. 209.
DOI: 10.1007/s00025-022-01742-0.
8. Popov, M. Banach Lattices of Orthogonally Additive Operators,
Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2022, vol. 514, no. 1, article no. 126279.
DOI: 10.1016/j.jmaa.2022.126279.
9. Tulu, D. and Turan, B. Extension and Restriction of Orthogonally Additive Operators,
Siberian Mathematical Journal, 2025, vol. 66, pp. 199-206.
DOI: 10.1134/S003744662501015X.
10. Abasov, N. M. On Band Preserving Orthogonally Additive Operators,
Siberian Electronic Mathematical Reports, 2021, vol. 18, no. 1, pp. 495-510.
DOI: 10.33048/semi.2021.18.036.
11. Abasov, N. On a Band Generated by a Disjointness
Preserving Orthogonally Additive Operator, Lobachevskii Journal of Mathematics,
2021, vol. 42, no. 5, pp. 851-856. DOI: 10.1134/ S1995080221050024.
12. Abasov, N. M., Dzhusoeva, N. A. and Pliev, M. A. Diffuse Orthogonally Additive Operators,
Sbornik: Mathematics, 2024, vol. 215, no. 1, pp. 1-27. DOI: 10.4213/sm9909e.
13. Abasov, N. and Pliev, M. Disjointness Preserving Orthogonally
Additive Operators in Vector Lattices, Banach Journal of Mathematical Analysis,
2018, vol. 12, no. 3, pp. 730-750. DOI: 10.1215/17358787-2018-0001.
14. Turan, B. and Tulu, D. On Orthogonally Additive Band Operators and
Orthogonally Additive Disjointness Preserving Operators,
Turkish Journal of Mathematics, 2023, vol. 47, no. 4, article no. 15.
DOI: 10.55730/1300-0098.3425.
15. Aliprantis, C. D. and Burkinshaw, O. Positive Operators, Dordrecht, Springer, 2006.
16. Kusraev, A. G. Dominated Operators, Kluwer Academic Publishers, 2000.
17. Vulikh, B. Z. Introduction to the Theory of Partially Ordered Spaces,
Gronngen, Wolter-Noordhoff Scientific Publications, LTD, 1967.
18. Mykhaylyuk, V., Pliev, M. and Popov, M. The Lateral Order on Riesz Spaces
and Orthogonally Additive Operators, Positivity, 2021, vol. 25, pp. 291-327.
DOI: 10.1007/s11117-020-00761-x.
19. Meyer-Nieberg, P. Banach Lattices, Berlin, Springer, 1991.
20. Dzhusoeva, N., Huang, J., Pliev, M. and Sukochev, F. Lateral Order on Complex Vector Lattices and Narrow Operators,
Mathematische Nachrichten, 2023, vol. 296, no. 11, pp. 5157-5170. DOI: 10.1002/ mana.202200415.
21. Appell, J. and Zabrejko, P. P. Nonlinear Superposition Operators,
Cambridge, Cambridge University Press, 1990.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
