Кусраев А. Г.
Владикавказский математический журнал. 2026. Том 28. Выпуск 1.С.82-97.
Аннотация: Лемма Фаркаша является классическим результатом, лежащим в основе двойственности линейного программирования и теории оптимизации. Известны многочисленные ее обобщения, в том числе и различные линейные и нелинейные операторные версии. Однако, лемма Фаркаша неверна для полилинейных операторов и даже для билинейных функционалов на конечномерном пространстве, если число фигурирующих в ее формулировке операторов больше двух. В настоящей заметке выделен класс орторегулярных полилинейных операторов из декартовой степени равномерно полной векторной решетки в пространство Канторовича, для которых лемма Фаркаша имеет место в полном объеме. Для этой цели используется линеаризация с помощью степени векторной решетки, которая позволяет заменить орторегулярный полилинейный оператор регулярным линейным оператором. Показано также, что аналогичная конструкция работает и в том случае, когда область определения операторов - векторное пространство с отношением дизъюнктности, согласованным с линейной структурой.
Ключевые слова: системы линейных неравенств, лемма Фаркаша, векторная решетка, принцип стратификации Кутателадзе, орторегулярный полилинейный оператор, отношение дизъюнктности.
Финансирование: Работа выполнена в Северо-Кавказском центре математических исследований ВНЦ РАН при поддержке Минобрнауки России, соглашение № 075-02-2026-738.
Образец цитирования: Кусраев А. Г. Лемма Фаркаша для полилинейных операторов // Владикавк. мат. журн. 2026. Т. 28, вып. 1. С. 82-97. DOI 10.46698/o9578-0948-6676-e
1. Farkas Gy. A Fourier fele mechanikai elv alkalmazasanak algebrai alapja //
Mathematikai es Termeszettudomanyi Ertesito. 1898. Vol. 16. P. 361-364.
2. Farkas J. Theorie der einfachen Ungleichungen // J. Reine Angew. Math. 1902. Vol. 124. P. 1-2.
3. Kjeldsen T. H. Different motivations and goals in the historical development of the theory of systems of linear inequalities // Arch. Hist. Exact Sci. 2002. Vol. 56, № 6. P. 459-538. DOI: 10.1007/s004070200057.
4. Kjeldsen T. H. From Measuring tool to geometrical object:
Minkowski's development of the concept of convex bodies //
Arch. Hist. Exact Sci. 2008. Vol. 62, № 1. P. 59-89. DOI: 10.1007/s00407-007-0014-6.
5. Dinh N., Jeyakumar V. Farkas' lemma: three decades of generalizations for mathematical
optimization // Transactions in Operations Research. 2014. Vol. 22. P. 1-22. DOI: 10.1007/s11750-014-0319-y.
6. Dinh N., Jeyakumar V. Rejoinder on: Farkas' lemma: three decades of generalizations for mathematical
optimization // Transactions in Operations Research. 2014. Vol. 22. P. 41-44.
7. Bartle D. A short algebraic proof of the Farkas lemma // SIAM J. Optim. 2008. Vol. 19, № 1. P. 234-239. DOI: 10.1137/06067438.
8. Bartle D. Separation theorems for convex polytopes and finitely-generated cones derived
from theorems of the alternative // Linear Algebra Appl. 2012. Vol. 436. P. 3784-3789.
DOI: 10.1016/j.laa.2011.12.009.
9. Черников С. Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968. 488 с.
10. Floudas C. A., Pardalos P. M. Pardalosncyclopedia of Optimization / Floudas
C. A., and Pardalos P. M. (eds.). Berlin-N.Y.: Springer, 2009.
11. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений //
Докл. АН СССР. 1963. Т. 149, № 4. C. 759-762.
12. Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
13. Якубович В. А. \(S\)-процедура в нелинейной теории регулирования // Вестн. Ленинградского гос. ун-та. Сер. 1. 1971. C. 62-77.
14. Polik I., Terlaky T. A survey of the \(S\)-lemma // SIAM Review. 2007. Vol. 49, № 3. P. 371-418. DOI: 10.1137/S003614450444614X.
15. Yang M., Xia Y., Wang Sh. Unifying Farkas lemma and \(S\)-lemma: new theory and applications in nonquadratic nonconvex optimization // J. Optim. Theory and Appl. 2022. Vol. 194, № 1. P. 353-363. DOI: 10.48550/arXiv.2109.03001.
16. Huang Q. Y., Jeyakumar V., Li G., Huyen D. T. K. Convexifiable quadratic inequality systems: new minimax \(S\)-lemma and exact SOCPs for classes of distributionally robust optimization problems // J. Glob. Optim. 2025. Vol. 92, № 3. P. 535-568. DOI: 10.1007/s10898-025-01499-0.
17. Downey L. Farkas' lemma and multilinear forms // Missouri J. Math. Sci. 2009. Vol. 21, № 1. P. 65-67. DOI: 10.35834/mjms/1316032682.
18. Aron R., Garca D., Pinasco D., Zalduendo I. Farkas's lemma in the bilinear setting and evaluation functionals // Rev. Real Acad. Cienc. Exactas Fis. Nat. Ser. A-Mat. 2023. Vol. 117, article no. 6. DOI: 10.1007/s13398-022-01337-y.
19. Aron R., Downey L., Maestre M. Zero sets and linear dependence of multilinear forms // Note Mat. 2005. Vol. 25, № 1. P. 49-54. DOI: 10.1285/i15900932v25n1p49.
20. Фрадков А. Л. Теоремы двойственности в некоторых невыпуклых экстремальных задачах // Сиб. мат. журн. 1973. Т. 14, № 2. С. 357-383.
21. Kutateladze S. S. One general method in operator theory //
Владикавк. мат. журн. 2005. Т. 7, вып. 4. С. 35-37.
22. Kusraev A. G. Around Kutateladze's stratification principle // Siberian Math. J. 2025. Vol. 66, № 5. P. 1285-1305. DOI: 10.1134/S0037446625050180.
23. Kutateladze S. S. Boolean models and simultaneous inequalities // Владикавк. мат. журн. 2009. Т. 11, вып. 3. С. 44-50.
24. Кутателадзе С. С. Новые подходы к лемме Фаркаша // Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 1. С. 98-109.
25. Kutateladze S. S. Boolean trends in linear inequalities // J. Appl. Industrial Math. 2010. Vol. 4, № 3. P. 340-348. DOI: 10.1134/S1990478910030051.
26. Кутателадзе С. С. Полиэдральный принцип Лагранжа // Сиб. мат. журн. 2011. Т. 52, № 3. С. 606-609.
27. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive Operators. Orlando: Academic Press, 2006.
28. Акилов Г. П., Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные пространства. Новосибирск: Наука, 1978.
29. Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Boolean Valued Analysis: Selected Topics. Vladikavkaz: Vladikavkaz Scientific Center Press, 2014. 400 c. (Trends in Science: South of Russia. A Mathematical Monograph. Vol. 6.).
30. Кусраев А. Г., Кутателадзе C. C. Субдифференциальное исчисление. Теория и приложения. М.: Наука, 2007.
31. Jeyakumar V., Li G. I. Farkas’ lemma for separable sublinear inequalities
without qualifications // Optim. Letters. 2009. Vol. 3. P. 537-545. DOI: 10.1007/s11590-009-0133-x.
32. Boulabiar K. Products in almost \(f\)-algebras // Comment. Math. Univ. Carolinae. 2000. Vol. 41, № 4. P. 747-759.
33. Boulabiar K., Buskes G. Vector lattice powers: \(f\)-algebras and functional calculus //
Comm. Algebra. 2006. Vol. 34, № 4. P. 1435-1442. DOI: 10.1080/00927870500454885.
34. Bu Q., Buskes G. Polynomials on Banach lattices and positive tensor products // J. Math. Anal. Appl. 2012. Vol. 388, № 2. P. 845-862. DOI: 10.1016/j.jmaa.2011.10.001.
35. Бондарев А. С. О множествах с дизъюнктными элементами // Изв. вузов. Матем. 1972. № 9. C. 10-16.
36. Векслер А. И. О структурной упорядочиваемости алгебр и колец // Докл. АН СССР. 1965. Т. 164, № 2. C. 259-262.
37. Векслер А. И. Линейные пространства с дизъюнктными элементами и превращение их в векторные структуры // Учен. зап. Ленинградск. пед. ин-та им. А. И. Герцена. 1967. Т. 328. C. 19-43. (Сер. "Вопросы современной математики").
38. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984.
39. Сорокина В. И. Понятие группы и линейного множества с дизъюнктными элементами // Уч. зап. Ленинградск. пед. инст. им. А. И. Герцена. 1955. Т. 103. C. 179-208.
40. Пинскер А. Г. Структурная характеризация функциональных пространств // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, № 1. C. 226-229.
41. Luxemburg W. A. J., Zaanen A. C. Riesz Spaces I. Amsterdam: North-Holland Publ. Comp., 1971.
42. Kusraev A. G. Dominated Operators. Dordrecht: Kluver, 2000.
43. Векслер А. И. Григорий Яковлевич Лозановский (к 70-летию со дня рождения) // Владикавк. мат. журн. 2007. Т. 9, № 3. C. 3-10.
44. Векслер А. И. Банаховы циклические пространства и банаховы структуры // Докл. АН СССР. 1973. Т. 213, № 4. C. 770-773.
45. Agud L., Calabuig J. M., Juan M. A., Sanchez-Perez E. A. Banach lattice structures and concavifications in Banach spaces // Mathematics. 2020. Vol. 8, № 1. P. 127. DOI: 10.3390/math8010127.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
