Аннотация: В работе исследуется проблема существования энергетической функции для дискретных динамических систем, заданных структурно устойчивыми диффеоморфизмами на гладких, компактных, ориентируемых поверхностях без края. Для рассматриваемого класса такая функция определяется как непрерывная функция, убывающая вдоль орбит системы вне неблуждающего множества и постоянная на неблуждающих орбитах. На данный момент известно, что если неблуждающее множество структурно устойчивого диффеоморфизма поверхности не содержит нетривиальных седловых базисных множеств, то он обладает энергетической функцией, а если такое множество есть, причем оно не содержит пары сопряженных точек, то этой функции у него нет. В работе вводится так называемый серпантинный геометрический тип марковского разбиения, являющийся обобщением геометрического типа для классической подковы Смейла, и рассматриваются диффеоморфизмы с нетривиальными седловыми базисными множествами, допускающими марковские разбиения такого типа. Данные базисные множества содержат пары сопряженных точек, соответственно, их изучение расширяет класс диффеоморфизмов, для которых вопрос существования энергетической функции является решенным. Основным результатом данной работы является доказательство того, что сохраняющий ориентацию структурно устойчивый 2-диффеоморфизм с базисным множеством, допускающим марковское разбиение серпантинного геометрического типа, не обладает энергетической функцией.
Финансирование: Исследование было проведено в рамках Программы фундаментальных исследований Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» (проект № HSE-BR-2025-81).
Образец цитирования: Barinova М. K., Tirskaya К. Yu. Nonexistence of Energy Function for Surface Diffeomorphisms with Nontrivial Basic Sets of Serpentine Geometric Type // Владикавк. мат. журн. 2026. Т. 28, №3. C. 25-43 (in English). DOI 10.46698/x0726-7762-7626-m
1. Conley, C. Isolated Invariant Sets and the Morse Index, Regional Conference Series in Mathematics, no. 38, American Mathematical Society, 1978, 88 p.
2. Smale, S. On Gradient Dynamical Systems, Annals of Mathematics, 1961, vol. 74, no. 1, pp. 199-206. DOI: 10.2307/1970311.
3. Meyer, K. R. Energy Functions for Morse Smale Systems, American Journal of Mathematics, 1968, vol. 90, no. 4, pp. 1031-1040. DOI: 10.2307/2373287.
4. Franks, J. Nonsingular Smale Flows on S³, Topology, 1985, vol. 24, no. 3, pp. 265-282. DOI: 10.1016/0040-9383(85)90002-3.
5. Wilson, W. Smoothing Derivatives of Functions and Applications, Transactions of the American Mathematical Society, 1969, vol. 139, pp. 413-428. DOI: 10.2307/1995333.
6. Pixton, D. Wild Unstable Manifolds, Topology, 1977, vol. 16, no. 2, pp. 167-172. DOI: 10.1016/0040-9383(77)90014-3.
7. Grines, V. Z. and Kalai, Kh. Kh. Diffeomorphisms of Two-Dimensional Manifolds with Spatially Situated Basic Sets, Russian Mathematical Surveys, 1985, vol. 40, no. 1, pp. 221-222. DOI: 10.1070/RM1985v040n01ABEH003540.
8. Bonatti, C. and Langevin, R. Difféomorphismes de Smale des Surfaces, Astérisque, vol. 250, Paris, Société Mathématique de France, 1998, 235 p.
9. Béguin, F. Classification des Difféomorphismes de Smale des Surfaces: Types Géométriques Réalisables, Annales de l’Institut Fourier, 2002, vol. 52, no. 4, pp. 1135-1185. DOI: 10.5802/aif.1914.
10. Mitryakova, T. M., Pochinka, O. V. and Shishenkova, A. E. Energy Function for Diffeomorphisms on Surfaces with Finite Hyperbolic Chain Recurrent Set, Middle Volga Mathematical Society Journal, 2012, vol. 14, no. 1, pp. 98-106.
11. Grines, V. Z., Noskova, M. K. and Pochinka, O. V. The Construction of an Energy Function for Three-Dimensional Cascades with a Two-Dimensional Expanding Attractor, Transactions of the Moscow Mathematical Society, 2015, vol. 76, no. 2, pp. 237-249. DOI: 10.1090/mosc/249.
12. Barinova, M. On Existence of an Energy Function for Ω-Stable Surface Diffeomorphisms, Lobachevskii Journal of Mathematics, 2021, vol. 42, no. 14, pp. 3317-3323. DOI: 10.1134/S1995080222020020.
13. Barinova, M. K. and Tirskaya, K. Y. Nonexistence of Energy Function for Surface Diffeomorphisms with Horseshoe Basic Sets, Partial Differential Equations in Applied Mathematics, 2024, vol. 11. DOI: 10.1016/j.padiff.2024.100876.
14. Palis, J. J. and De Melo, W. Geometric Theory of Dynamical Systems: An Introduction, New York, Springer, 2012. DOI: 10.1007/978-1-4612-5703-5.
15. Shub, M. Stabilité Globale des Systèmes Dynamiques, Astérisque, vol. 56, Paris, Société Mathématique de France, 1978, 224 p.
16. Smale, S. The Ω-Stability Theorem, Global Analysis, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 1970, vol. 14, pp. 289-297. DOI: 10.1090/pspum/014.
17. Franke, J. E. and Selgrade, J. F. Hyperbolicity and Chain Recurrence, Journal of Differential Equations, 1977, vol. 26, no. 1, pp. 27-36.
18. Robinson, C. Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos, Boca Raton, FL, CRC-Press, 1999, 506 p.
19. Smale, S. Differentiable Dynamical Systems, Bulletin of the American Mathematical Society, 1967, vol. 73, no. 6, pp. 747-817. DOI: 10.1090/S0002-9904-1967-11798-1.
20. Grines, V. Z. and Pochinka, O. V. Construction of Energetic Functions for Ω-Stable Diffeomorphisms on 2- and 3-Manifolds, Contemporary Mathematics. Fundamental Directions, 2017, vol. 63, no. 2, pp. 191-222 (in Russian). DOI: 10.22363/2413-3639-2017-63-2-191-222.
21. Bowen, R. Topological Entropy and Axiom A, Global Analysis, American Mathematical Society, 1970, vol. 14, pp. 23-41.
22. Smale, S. A Structurally Stable Differentiable Homeomorphism with an Infinite Number of Periodic Points, Qualitative Methods in the Theory of Non-Linear Vibrations, Proc. Internat. Sympos. Non-linear Vibrations, 1961, vol. 2, pp. 365-366.
23. Grines, V. Z. The Topological Conjugacy of Diffeomorphisms of a Two-Dimensional Manifold on One-Dimensional Orientable Basic Sets. I, Transactions of the Moscow Mathematical Society, 1975, vol. 32, pp. 31-56.
24. Gonchenko, S. V., Gonchenko, A. S. and Malkin, M. I. On Classification of Classical and Half-Orientable Horseshoes in Terms of Boundary Points, Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 2010, vol. 6, no. 3, pp. 549-566. DOI: 10.20537/nd1003006.
Единственным правообладателем опубликованного произведения является Учредитель Владикавказского математического журнала.
Условия использования данного произведения регламентируются открытой лицензией (Creative Commons: Attribution-NonCommercial 4.0 International).
Использование метаданных научной статьи, включая название, аннотацию, сведения об авторах, список литературы, идентификаторы и иные элементы библиографического описания для дальнейшего неограниченного использования осуществляется на условиях открытой лицензии СС BY или CCO.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
