ISSN печатной версии 1683-3414   •   ISSN он-лайн версии 1814-0807
     
 

Контакты

Адрес: Россия, 362027, Владикавказ,
ул. Маркуса, д. 22
Тел.: (8672)50-18-06
E-mail: rio@smath.ru

 

 

 

џндекс.Њетрика

DOI: 10.23671/VNC.2018.1.11394

Единственность симметричной структуры в идеалах компактных операторов

Аминов Б. Р. , Чилин В. И.
Владикавказский математический журнал. 2018. Том 20. Выпуск 1.С.30-37.
Аннотация:
Пусть \(H\) - сепарабельное бесконечномерное комплексное гильбертово пространство, \(\mathcal L(H)\) - \(C^*\)-ал\-геб\-ра ограниченных линейных операторов, действующих в \(H\), \(\mathcal K(H)\) - двусторонний идеал в \(\mathcal L(H)\) всех компактных операторов. Пусть \((E, \|\cdot\|_E)\) - симметричное пространство последовательностей, \(\mathcal{C}_E:=\{ x \in \mathcal K(\mathcal H) : \{s_n(x)\}_{n=1}^\infty \in E\}\) - собственный двусторонний идеал в \(\mathcal L(H)\), порожденный \((E, \|\cdot\|_E)\), где \(\{s_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\) сингулярные числа компактного оператора \(x\). Известно, что \(\mathcal{C}_E\) - банахов симметричный идеал относительно нормы \( \|x\|_{\mathcal C_E}=\|\{s_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\|_E\).

Говорят, что симметричный идеал \(\mathcal{C}_E\) имеет единственную симметричную структуру, если наличие изоморфизма из \((\mathcal{C}_E, \|\cdot\|_{\mathcal{C}_E})\) на другой симметричный идеал \((\mathcal{C}_F, \|\cdot\|_{\mathcal{C}_F})\) обязательно влечет равенство \(\mathcal{C}_E = \mathcal{C}_F\), т. е. \(E = F\), с точностью до эквивалентных норм. На международной конференции по теории банаховых пространств и их приложений (Kent, Ohio, August 1979), А. Пельчинский поставил следующую проблему:

(P): Каждый ли симметричный идеал имеет единственную симметричную структуру?

 Эта проблема получила положительное решение в работе J. Arazy и J. Lindenstrauss (1975) для идеалов Шаттена \(\mathcal{C}_p\), \(1\leq p < \infty\). В случае произвольных симметричных идеалов проблема (P) до сих пор не решена. Мы рассматриваем вариант проблемы (P), заменяя наличие изоморфизма \(U:(\mathcal{C}_E, \|\cdot\|_{\mathcal{C}_E}) \to (\mathcal{C}_F, \|\cdot\|_{\mathcal{C}_F})\) на существование положительной линейной сюръективной изометрии. Мы показываем, что в случае строго симметричного пространства последовательностей \(F\), каждая положительная линейная сюръективная изометрия \(U:(\mathcal{C}_E, \|\cdot\|_{\mathcal{C}_E}) \to (\mathcal{C}_F, \|\cdot\|_{\mathcal{C}_F})\) имеет следующий вид: \(U(x) = u^*xu\) для всех \(x \in \mathcal C_E\), где \(u \in \mathcal L(H)\) есть унитарный или антиунитарный оператор. Используя это описание положительных линейных сюръективных изометрий, доказывается, что наличие такой изометрии \(U:\mathcal{C}_E \to \mathcal{C}_F\) влечет равенство \((E,\|\cdot\|_E)=(F, \|\cdot\|_F)\).
Ключевые слова: симметричный идеал компактных операторов, единственность симметричной структуры, положительная изометрия
Язык статьи: Английский Загрузить полный текст  
Образец цитирования: Aminov B. R.,  Chilin V. I. The uniqueness of the symmetric structure in ideals of compact operators //  Владикавк. мат. журн. 2018. Том 20, вып. 1. С. 30-37. DOI 10.23671/VNC.2018.1.11394
+ Список литературы


← Содержание выпуска
 
  | Главная | Редколлегия | Публикационная этика | Рецензирование | Свежий номер | Архив | Правила для авторов |  
© 1999-2021 Южный математический институт