Аннотация: Исследована видоизмененная задача Коши для четырехмерного уравнения второго порядка гиперболического типа со спектральным параметром и с оператором Бесселя. В уравнении по всем переменным участвует сингулярный дифференциальный оператор Бесселя. Для решения сформулированной задачи, применен обобщенный оператор Эрдейи - Кобера дробного порядка. Доказана формула вычисления производных высокого порядка от обобщенного оператора Эрдейи - Кобера, которая применяется при исследовании сформулированной задачи. Рассматривается также конфлюэнтная гипергеометрическая функция четырех переменных обобщающая функцию Гумберта и доказывается некоторые ее свойства. Принимая во внимание доказанные свойства оператора Эрдейи - Кобера и конфлюэнтной гипергеометрической функции, решение видоизмененной задачи Коши представлено в компактной интегральной форме, которая обобщает формулу Кирхгофа. Полученная формула позволяет непосредственно усмотреть характер зависимости решения от начальных функций и в частности, установить условия гладкости классического решения. В работе также содержится краткое историческое вступление в дифференциальные уравнения с операторами Бесселя.
Образец цитирования: Каримов Ш. Т., Уринов А. К. Решение задачи Коши для четырехмерного
гиперболического уравнения с оператором Бесселя // Владикавк. мат.
журн. 2018. Том 20, вып. 3. С. 57-68.
DOI 10.23671/VNC.2018.3.17991
1. Эйлер Л. Интегральное исчисление. M.: ГИФМЛ, 1958. Т. 3. 447 с.
2. Reimann B. Vercuch einer allgemeinen auffassung der integration
und differentiation // Ges. Math. Werke. Leipzing: Teubner, 1876. P.
331-334.
3. Poisson S. D. Memoire sur L'integration des equations lineaires
aux differences partielles // J. l'Ecole Rog. Politechn. 1823. № 12.
P. 215-248.
4. Darboux G. Lecons sur la Theorie Generale des Surfaces et les
Applications Geometriques du Calcul Infinitesimal. Vol. 2. Paris:
Gauthier-Villars, 1915.
5. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.-Л.:
Гостезиздат, 1947. 192 с.
6. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных.
М.: Наука, 1981. 448 с.
7. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические
уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.
8. Нахушев А. М. Задачи со смещеним для уравнений в частных
производных. М.: Наука, 2007. 287 с.
9. Carroll R. W., Showalter R. E. Singular and Degenerate Cauchy
Problems. N.Y.: Academic Press, 1976. 333 p.
10. Салохитдинов М. С., Мирсабурова М. Нелокальные задачи для
уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами. Ташкент:
Университет, 2005. 224 с.
11. Weinstein A. On the wave equation and the equation of
Euler-Poisson // Wave Motion and Vibration Theory. Proc. Sympos.
Appl. Math. N.Y. : McGraw-Hill, 1954. Vol. 5. P. 137-147.
12. Young E. C. On a generalized Euler-Poisson-Darboux equation
// J. Math. Mech. 1969. Vol. 18, № 12. P. 1167-1175.
13. Киприянов И. А., Иванов. Л. А. Задача Коши для уравнения Эйлера
Пуассона Дарбу в симметрическом пространстве // Мат.
сб. 1984. Т. 124(166), № 1(5). С. 45-55.
14. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на
границе. Новосибирск, 1973. 144 с.
15. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и
смешанных уравнений. Алматы: Изд-во "Гылым", 1994. 168 с.
16. Ибрагимов Н. Х., Оганесян А. О. Иерархия гюйгенсовых уравнений в
пространствах с нетривиальной конформной группой // Успехи мат.
наук. 1991. Т. 36, вып. 3(279). С. 111-146.
17. Fox D. W. The solution and Huygens' principle for a singular
Cauchy problem // J. Math. Mech. 1959. Vol. 8. P. 197-220.
18. Ляхов Л. Н., Половинкин И. П., Шишкина Э. Л. Формулы решения
задачи Коши для сингулярного волнового уравнения с оператором
Бесселя по времени // Д окл. РАН. 2014. Т. 459, № 5. C. 533-538.
19. Lowndes J. S. A generalization of the Erdelyi-Kober operators
// Proc. Edinb. Math. Soc. 1970. Vol. 17, № 2. P. 139-148.
20. Urinov A. K., Karimov S. T. Solution of the cauchy problem for
generalized Euler-Poisson-Darboux equation by the method of
fractional integrals // Progress in Partial Differential Equations.
Springer Intern. Publ., 2013. P. 321-337. DOI:
10.1007/978-3-319-00125-8_15.
21. Каримов Ш. Т. Об одном методе решения задачи Коши для
обобщенного уравнения Эйлера Пуассона Дарбу // Узб. мат. журн.
2013. № 3. С. 57-69.
