Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.46698/p2394-5241-9362-p
Локально-одномерная схема для третьей начально-краевой задачи для многомерного уравнения соболевского типа с эффектом памяти
Бештоков М. Х.
Владикавказский математический журнал. 2024. Том 26. Выпуск 1.С.36-55.
Аннотация: Исследуется многомерное уравнение Соболевского типа с эффектом памяти и граничными условиями третьего рода. Для численного решения поставленной задачи исходная многомерная задача сводится к третьей начально-краевой задаче для интегро-дифференциального уравнения параболического типа с малым параметром. Доказана сходимость решения полученной модифицированной задачи к решению исходной задачи при стремлении малого параметра к нулю. Для модифицированной задачи стоится локально-одномерная разностная схема А. А. Самарского, основная идея которой состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению ряда одномерных задач по каждому из координатных направлений. При этом погрешность аппроксимации аддитивной схемы определяется как сумма невязок для всех промежуточных схем, то есть, построенная аддитивная схема обладает суммарной аппроксимацией, таким образом, что каждая из промежуточных схем цепочки может не аппроксимировать исходную задачу, аппроксимация достигается за счет суммирования всех невязок для всех промежуточных схем. С помощью метода энергетических неравенств получены априорные оценки, из чего следуют единственность и устойчивость решения локально-одномерной разностной схемы, а также сходимость решения схемы к решению исходной дифференциальной задачи.
Ключевые слова: уравнение соболевского типа, многомерное уравнение, уравнение с эффектом памяти, априорная оценка, локально-одномерная схема, устойчивость и сходимость схем.
Образец цитирования: Бештоков М. Х. Локально-одномерная схема для третьей начально-краевой задачи для многомерного уравнения Соболевского типа с эффектом памяти // Владикавк. мат. журн. 2024. Т. 26, вып. 1. C. 36-55.
DOI 10.46698/p2394-5241-9362-p
1. Grasselli M., Pata V. Uniform attractors of nonautonomous dynamical systems with memory // Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications / Lorenzi, A., Ruf, B. (eds). Basel: Birkhauser Verlag, 2002. Vol. 50. P. 155-178. DOI: 10.1007/978-3-0348-8221-7_9.
2. Coleman B. D., Gurtin M. E., Angew Z. Equipresence and costitutive equations for rigid heat conductors //
Appl. Math. Phys. 1967. Vol. 18. P. 199-208. DOI: 10.1007/BF01596912.
3. Gurtin M. E., Pipkin A. C. A general theory of heat conduction with finite wave speeds // Arch. Rational Mech. Anal. 1968. Vol. 31. P. 113-126. DOI: 10.1007/BF00281373.
4. Fabrizio M., Morro A. Mathematical Problems in Linear Viscoelasticity. Philadelphia, PA, 1992. x+203 p. (SIAM Studies in Applied Mathematics, vol. 12. Society for Industrial
and Applied Mathematics (SIAM)).
5. Renardy M., Hrusa W. J., Nohel J. A. Mathematical problems in linear viscoelasticity. Longmans Press, Essex, 1987. 273 p.
6. Cavalcanti M. M., Domingos Cavalcanti V. N., Ferreira J. Existence and uniform decay for a non-linear viscoelastic equation with strong damping //
Math. Meth. Appl. Sci. 2001. Vol. 24. P. 1043-1053. DOI: 10.1002/mma.250.
7. Munoz Rivera J. E., Barreto R. K. Decay rates of solutions to thermoviscoelastic plates with memory // IMA J. Appl. Math. 1998. Vol. 60, № 3. P. 263-283. DOI: 10.1093/imamat/60.3.263.
8. Munoz Rivera J. E., Fatori L. H. Regularizing properties and propagations
of singularities for thermoelastic plates // Math. Meth. Appl. Sci. 1998. Vol. 21, № 9. P. 797-821.
DOI: 10.1002/(SICI)1099-1476(199806)21:9<797::AID-MMA970>3.0.CO;2-D.
9. Racke R. Asymptotic behavior of solutions in linear 2- or 3-d thermoelasticity
with second sound // Quart. Appl. Math. 2003. Vol. 61. P. 315-328.
DOI: 10.1090/qam/1976372.
10. Осколков А. П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина Фойгта и жидкостей Олдройта // Краевые задачи матем. физики. 13. Сб. работ. Тр. МИАН СССР. 1988. Т. 179. C. 126-164.
11. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Кан Н. З. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. М.: Наука, 1989. 416 с.
12. Свешников A. A., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007. 736 c.
13. Бештоков М. Х. Разностный метод решения одной нелокальной краевой задачи
для псевдопараболического уравнения третьего порядка // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49, № 9. C. 1170-1177.
14. Бештоков М. Х. О численном решении нелокальной краевой задачи для вырождающегося псевдопараболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 10. C. 1393-1406.
15. Beshtokov M. Kh. The third boundary value prob-lem for loaded differential Sobolev type equation and grid methods of their numerical implementation // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2016. Vol. 158, № 1. P. 12-19. DOI: 10.1088/1757-899X/158/1/012019.
16. Бештоков М. Х. Краевые задачи для вырождающихся и невырождающихся уравнений Соболевского типа с нелокальным источником в дифференциальной и разностной трактовках // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54, № 2. C. 249-266. DOI: 10.1134/S0374064118020115.
17. Бештоков М. Х. Численное исследование начально-краевых задач для уравнения Соболевcкого типа с дробной по времени производной // Журн. выч. матем. и матем. физ. 2019. Т. 59, № 2. С. 185-202. DOI: 10.1134/S0044466919020054.
18. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференицальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12, № 5. С. 3-122.
19. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. 439 с.
20. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.
21. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 617 с.
22. Самарский A. A., Гулин A. B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 415 с.
