Аннотация: Псевдориманово многообразие \((M,g)\) называется геодезически орбитальным многообразием, если любая геодезическая \(\gamma\) многообразия \(M\) является орбитой \(1\)-параметрической подгруппы полной группы изометрий \((M,g)\). Этот термин в случае римановых многообразий был введен в 1991 г. О. Ковальским и Л. Ванхекке, положившими начало систематическому изучению пространств \((M=G/H,g)\), где \(G\) - группа изометрий, а \(H\) - подгруппа изотропии. Следует отметить, что симметричные пространства, слабо симметричные пространства, естественно редуктивные однородные пространства, нормальные однородные пространства, обобщенные нормальные однородные пространства (и не только они) являются подклассами класса геодезически орбитальных псевдоримановых пространств. В данной статье приводятся примеры псевдоримановых геодезически орбитальных многообразий. Таковыми примерами являются специальные \(15\)-мерные группы Ли псевдо \(H\)-типа, т. е. \(2\)-ступенно нильпотентные группы Ли гейзенберговского типа, снабженные левоинвариантной псевдоримановой метрикой. Для построения соответствующих примеров использованы результаты о структуре рассматриваемых групп Ли.
Ключевые слова: римановы геодезически орбитальные многообразия, псевдоримановы геодезически орбитальные многообразия, группы Ли типа Гейзенберга.
Образец цитирования: Markina I., Nikonorov Yu., Furutani K. On Examples of Geodesic Orbit Pseudo-Riemannian Manifolds // Владикавк. мат. журн. 2026. Т. 28, № 1. C. 108-121 (in English). DOI 10.46698/i4125-5722-6924-j
1. Kowalski, O. and Vanhecke, L. Riemannian Manifolds with Homogeneous Geodesics,
Bollettino dell'Unione Matematica Italiana. B (7), 1991, vol. 5, no. 1, pp. 189-246.
2. Arvanitoyeorgos, A. Homogeneous Manifolds Whose Geodesics are Orbits. Recent Results
and Some Open Problems, Irish Mathematical Society Bulletin, 2017,
vol. 79, pp. 5-29. DOI: 10.33232/BIMS.0079.5.29.
3. Berestovskii, V. N. and Nikonorov, Yu. G. Riemannian Manifolds and Homogeneous Geodesics,
Springer Monographs in Mathematics, Cham, Springer, 2020.
4. Nikolayevsky, Y. and Ziller, W. Non-Singular Geodesic Orbit Nilmanifolds, Annali di
Matematica Pura ed Applicata, 2026. DOI: 10.1007/s10231-026-01661-9.
5. Nikonorov, Yu. G. On the Structure of Geodesic Orbit Riemannian Spaces,
Annals of Global Analysis and Geometry, 2017, vol. 52, pp. 289-311. DOI: 10.1007/s10455-017-9558-0.
6. Nikonorov, Yu. G. On Geodesic Orbit Nilmanifolds, Journal of Geometry and Physics, 2024,
vol. 203, article ID 105257, 12 p.
7. del Barco, V. Homogeneous Geodesics in Pseudo-Riemannian Nilmanifolds,
Advances in Geometry, 2016, vol. 16, no. 2, pp. 175-187.
8. Chen, Z., Nikolayevsky, Y., Wolf, J. A. and Zhang, S. Pseudo-Riemannian Geodesic Orbit Nilmanifolds of Signature \((n-2,2)\), The Journal of Geometric Analysis, 2024, vol. 34, no. 5, article no. 132, 21 p. DOI: 10.1007/s12220-024-01579-9.
9. Chen, Z., Wolf, J. A. and Zhang, S. On the Geodesic Orbit Property for Lorentz Manifolds,
The Journal of Geometric Analysis, 2022, vol. 32, no. 3, article no. 81, 14 p.
DOI: 10.1007/s12220-021-00744-8.
10. Dusek, Z. and Kowalski, O. Light-like Homogeneous Geodesics and the Geodesic Lemma for Any Signature,
Publicationes Mathematicae Debrecen, 2007, vol. 71, no. 1-2, pp. 245-252. DOI: 10.5486/PMD.2007.3800.
11. Nikolayevsky, Y. and Wolf, J. A. The Structure of Geodesic Orbit Lorentz Nilmanifolds,
The Journal of Geometric Analysis, 2023, vol. 33, no. 3, article no. 82, 12 p. DOI: 10.1007/s12220-022-01134-4.
12. Kaplan, A. On the Geometry of Groups of Heisenberg Type,
Bulletin of the London Mathematical Society, 1983, vol. 15, pp. 35-42. DOI: 10.1112/blms/15.1.35.
13. Riehm, C. Explicit Spin Representations and Lie Algebras of Heisenberg Type,
Journal of the London Mathematical Society, 1984, vol. 29, no. 1, pp. 49-62. DOI: 10.1112/jlms/s2-29.1.49.
14. Furutani, K., Markina, I. and Nikonorov, Y. Geodesic Orbit Pseudo-Riemannian \(H\)-Type Nilmanifolds:
Case of Minimal Admissible Clifford Modules, Preprint, 2025, arXiv: 2507.00470.
15. Lee, J. M. Introduction to Riemannian Manifolds, 2nd edition,
Graduate Texts in Mathematics, vol. 176, Cham, Springer, 2018.
16. Cordero, L. A. and Parker, P. E. Isometry Groups of Pseudoriemannian 2-Step Nilpotent Lie Groups,
Houston Journal of Mathematics, 2009, vol. 35, no. 1, pp. 49-72.
17. Gordon, C. Homogeneous Riemannian Manifolds Whose Geodesics are Orbits,
Topics in Geometry: Honoring the Memory of Joseph D'Atri, Progress
in Nonlinear Differential Equations, vol. 20, Birkhauser, 1996, pp. 155-174.
18. Ovando, G. P. Naturally Reductive Pseudo-Riemannian 2-Step Nilpotent Lie Groups,
Houston Journal of Mathematics, 2013, vol. 39, no. 1, pp. 147-167.
19. Kaplan, A. Fundamental Solutions for a Class of Hypoelliptic PDE Generated by Composition of Quadratic Forms,
Transactions of the American Mathematical Society, 1980, vol. 258, no. 1, pp. 147-153. DOI: 10.1090/S0002-9947-1980-0554324-X.
20. Ciatti, P. Scalar Products on Clifford Modules and Pseudo-\(H\)-Type Lie Algebras,
Annali di Matematica Pura ed Applicata, IV Ser., 2000, vol. 178, pp. 1-31. DOI: 10.1007/BF02505885.
21. Godoy Molina, M., Korolko, A. and Markina, I. Sub-Semi-Riemannian Geometry of General \(H\)-Type Groups,
Bulletin des Sciences Mathematiques, 2013, vol. 137, no. 6, pp. 805-833. DOI: 10.1016/j.bulsci.2013.05.005.
22. Kaplan, A. Riemannian Nilmanifolds Attached to Clifford Modules,
Geometriae Dedicata, 1981, vol. 11, pp. 127-136. DOI: 10.1007/BF00147615.
23. Furutani, K. and Markina, I. Automorphism Groups of Pseudo \(H\)-Type Algebras,
Journal of Algebra, 2021, vol. 568, no. 3, pp. 91-138. DOI: 10.1016/j.jalgebra.2020.09.038.
24. Furutani, K. and Markina, I. Complete Classification of Pseudo \(H\)-type Lie Algebras. I,
Geometriae Dedicata, 2017, vol. 190, pp. 23-51. DOI: 10.1007/s10711-017-0225-1.
25. Berndt, J., Tricerri, F. and Vanhecke, L. Generalized Heisenberg Groups and Damek-Ricci Harmonic Spaces,
Lecture Notes in Mathematics, vol. 1598, Berlin, Springer, 1995.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
