Характеристическая задача Коши для нагруженного волнового уравнения
Аттаев А. Х.
Владикавказский математический журнал. 2026. Том 28. Выпуск 3.С.17-25.
Аннотация: В работе рассматривается одномерное нагруженное волновое уравнение. Особенностью такой нагрузки является то, что в характеристических переменных \(\xi=x-y\), \(\eta=x+y\) нагруженные компоненты представляют собой линейную комбинацию неизвестных функций, зависящих только от \(\xi\) или \(\eta\). Для исходного волнового уравнения получено представление всех его решений, являющееся аналогом представления общего решения обычного уравнения колебания струны. Для него исследована задача, в которой носителем данных Коши является одна из характеристик рассматриваемого нагруженного волнового уравнения. Для обычного уравнения колебания струны такая задача является некорректной. При выполнении некоторых нелокальных условий точечной природы доказана теорема существования и единственности решения, а само оно выписано в явном виде. Это показывает влияние нагрузки как регулятора для некорректной задачи. Регуляризация задачи Коши с данными на характеристиках происходит за счет наличия нагруженных слагаемых специального вида, каждое из которых отвечает за корректность на соответствующей характеристике.
Ключевые слова: нагруженное уравнение, волновое уравнение, волновой оператор, формула Даламбера, характеристическая задача Коши
Образец цитирования: Attaev A. Kh. Characteristic Cauchy Problem for a Loaded Wave Equation // Владикавк. мат. журн. 2026. Т. 28, № 3. C.17-25 (in English). DOI 10.46698/p6864-6863-9599-h
1. Nakhushev, A. M. On the Darboux Problem for One Degenerate Loaded Second-Order Integro-Differential Equation, Differential Equations, 1976, vol. 12, no. 1, pp. 103-108 (in Russian).
2. Dzhenaliev, M. T. and Ramazanov, M. I. Loaded Equations as Perturbations of Differential Equations [Nagruzhennye uravneniya kak vozmushcheniya differentsial'nykh uravneniy], Almaty, Fylym, 2010, 336 p. (in Russian).
3. Nakhushev, A. M. Loaded Equations and Their Applications [Nagruzhennye uravneniya i ikh primeneniya], Moscow, Nauka, 2012, 232 p. (in Russian).
4. Nakhusheva, V. A. Differential Equations of Mathematical Models of Nonlocal Processes [Differentsial'nye uravneniya matematicheskikh modeley nelokal'nykh protsessov], Moscow, Nauka, 2006, 173 p. (in Russian).
5. Serbina, L. I. Nonlocal Mathematical Models of Transport in Aquifer Systems [Nelokalnye matematicheskie modeli perenosa v vodonosnykh sistemakh], Moscow, Nauka, 2007, 167 p. (in Russian).
6. Attaev, A. Kh. Goursat Problem for Loaded Degenerate Second Order Hyperbolic Equation with Gellerstedt Operator in Principal Part, Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta, Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki [Journal of Samara State Technical University, Series Physical and Mathematical Sciences], 2016, vol. 20, no. 1, pp. 7-21 (in Russian). DOI: 10.14498/vsgtu1452.
7. Attaev, A. Kh. Goursat Problem for Loaded Hyperbolic Equation, Reports of Adyghe (Circassian) International Academy of Sciences, 2016, vol. 16, no. 3, pp. 9-12 (in Russian).
8. Courant, R. Partial Differential Equations [Uravneniya s chastnymi proizvodnymi], Moscow, Mir, 1964, 832 p. (in Russian).
9. Attayev, A. Kh. The Cauchy Problem for a Loaded Linear Differential Equation of the First Order, Bulletin of KRAUNC. Physical and Mathematical Sciences, 2023, vol. 44, no. 3, pp. 9-18 (in Russian). DOI: 10.26117/2079-6641-2023-44-3-9-18.
10. Attaev, A. Kh. Boundary Control Problem for a Loaded String Vibration Equation, Differential Equations, 2020, vol. 56, no. 5, pp. 635-640. DOI: 10.1134/S0012266120050080.
11. Attaev, A. Kh. Boundary Value Problems for a Loaded Wave Equation, Bulletin of the Karaganda University. Mathematics Series, 2017, no. 2 (86), pp. 8-13 (in Russian). DOI: 10.31489/2017M2/8-13.
12. Borok, V. M. and Zhitomirsky, Ya. I. Cauchy Problem for Linear Loaded Differential Equations. I. Uniqueness, Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika, 1981, no. 9, pp. 5-12 (in Russian).
13. Borok, V. M. and Zhitomirsky, Ya. I. Cauchy Problem for Linear Loaded Differential Equations. II. Well-Posedness, Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika, 1981, no. 10, pp. 3-9 (in Russian).
14. Borok, V. M. and Zhitomirsky, Ya. I. The Cauchy Problem for a Certain Class of Loaded Equations, Russian Mathematical Surveys, 1979, vol. 34, no. 1, pp. 219-220. DOI: 10.1070/RM1979v034n01ABEH002877.
Единственным правообладателем опубликованного произведения является Учредитель Владикавказского математического журнала.
Условия использования данного произведения регламентируются открытой лицензией (Creative Commons: Attribution-NonCommercial 4.0 International).
Использование метаданных научной статьи, включая название, аннотацию, сведения об авторах, список литературы, идентификаторы и иные элементы библиографического описания для дальнейшего неограниченного использования осуществляется на условиях открытой лицензии СС BY или CCO.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
