Аннотация: В статье обсуждаются вопросы исследования локальных бифуркаций в окрестностях пространственно однородных положений равновесия системы "реакция-диффузия" в ограниченной области с однородными краевыми условиями Неймана. Основные результаты касаются изучения задачи о взаимодействии бифуркаций Тьюринга и Андронова - Хопфа, приводящего к бифуркации Тьюринга - Хопфа. В такой бифуркации проявляются два типа диффузионных неустойчивостей, что может приводить к разнообразным эффектам, сопровождающимся возникновением сложных пространственно-временных режимов. С целью изучения основной задачи предлагаются новые расчетные формулы для исследования задач о бифуркациях Тьюринга и Андронова - Хопфа в одномерных, двумерных и трехмерных системах "реакция-диффузия". Полученные формулы представляют самостоятельный интерес. Проведено исследование условий, приводящих к бифуркации Тьюринга - Хопфа. Основным результатом является установление ее реализуемости в трехмерных системах "реакция-диффузия". Приводится соответствующий пример. Обсуждаются также возможные направления развития предложенных результатов в задачах исследования диффузионной неустойчивости и соответствующих бифуркаций.
Образец цитирования: Vasenina N. A. and Yumagulov M. G. The Turing-Hopf Bifurcation Problem in Three-Dimensional Reaction-Diffusion Systems // Владикавк. мат. журн. 2026. Т. 28, № 3. C. 60-73 (in English). DOI 10.46698/f6031-1077-3134-o
1. Vanag, V. K. Dissipative Structures in Reaction-Diffusion Systems [Dissipativnye struktury v reaktsionno-diffuzionnykh sistemakh], Izhevsk, Institute of Computer Research, Research Center “Regular and Chaotic Dynamics”, 2008, 300 p. (in Russian).
2. Svirezhev, Yu. M. Nonlinear Waves, Dissipative Structures and Catastrophes in Ecology [Nelineynye volny, dissipativnye struktury i katastrofy v ekologii], Moscow, Nauka, 1987, 368 p. (in Russian).
3. Murray, J. Mathematical Biology. Volume 1 [Matematicheskaya biologiya. Tom 1], Izhevsk, Scientific Research Center “Regular and Chaotic Dynamics”, Institute of Space Research, 2009, 776 p. (in Russian).
4. Bratus, A. S., Novozhilov, A. S., and Platonov, A. P. Dynamical Systems and Models of Biology [Dinamicheskie sistemi i modeli biologii], Moscow, Fizmatlit Publishing House, 2010, 436 p. (in Russian).
5. Magnitsky, N. A. Theory of Dynamic Chaos [Teoriya dinamicheskogo haosa], Moscow, URSS, 2011, 320 p. (in Russian).
6. Hassard, B., Kazarinov, N., and Ven, I. Theory and Applications of Cycle Birth Bifurcation [Teoriya i prilozheniya bifurkacii rozhdeniya cikla], Moscow, Mir, 1985, 280 p. (in Russian).
7. Borina, M. Yu., and Polezhaev, A. A. Diffusion Instability in a Three-Variable Reaction–Diffusion Model, Computer Research and Modeling, 2011, vol. 3, no. 2, pp. 135–146 (in Russian). DOI: 10.20537/2076-7633-2011-3-2-135-146.
8. Kuznetsov, M. B. Investigation of the Formation of Turing Structures under the Influence of Wave Instability, Computer Research and Modeling, 2019, vol. 11, no. 3, pp. 397–412 (in Russian). DOI: 10.20537/2076-7633-2019-11-3-397-412.
9. Meixner, M., De Wit, A., Bose, S. and Schöll, E. Generic Spatiotemporal Dynamics Near Codimension-Two Turing–Hopf Bifurcations, Physical Review E, 1997, vol. 55, no. 6, Article no. 6690. DOI: 10.1103/PhysRevE.55.6690.
10. Vanag, V. K. Subcritical Wave Instability in Reaction-Diffusion Systems, The Journal of Chemical Physics, 2004, vol. 121, no. 2, pp. 890–894. DOI: 10.1063/1.1760072.
11. Yang, L. A. Jumping Solitary Waves in an Autonomous Reaction-Diffusion System with Subcritical Wave Instability, Physical Chemistry Chemical Physics, 2004, vol. 6, no. 40, pp. 4647–4651.
12. Yang, L. A. and Epstein, I. R. Oscillatory Turing Patterns in Reaction-Diffusion Systems with Two Coupled Layers, Physical Review Letters, 2003, vol. 90, Article no. 178303. DOI: 10.1103/PhysRevLett.90.178303.
13. Jiang, W., An, Q. and Shi, J. Formulation of the Normal Form of Turing–Hopf Bifurcation in Partial Functional Differential Equations, Journal of Differential Equations, 2020, vol. 268, no. 10, pp. 6067–6102. DOI: 10.1016/j.jde.2019.11.039.
14. Song, Y., Zhang, T. and Peng, Y. Turing–Hopf Bifurcation in the Reaction–Diffusion Equations and Its Applications, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2016, vol. 33, pp. 229–258. DOI: 10.1016/j.cnsns.2015.10.002.
15. Ducrot, A., Fu, X. and Magal, P. Turing and Turing–Hopf Bifurcations for a Reaction–Diffusion Equation with Nonlocal Advection, Journal of Nonlinear Science, 2018, vol. 28, pp. 1959–1997. DOI: 10.1007/s00332-018-9472-z.
16. Yumagulov, M. G., Vasenina, N. A. and Gabdrahmanov, R. I. Operator Methods for Investigating Stability and Bifurcation Problems in a Reaction–Diffusion System and Applications, Differential Equations, 2025, vol. 61, no. 4, pp. 525–541. DOI: 10.1134/S0012266125040081.
17. Abushahmina, G. R., Gusarova, N. I. and Yumagulov, M. G. Lyapunov Quantities for Andronov–Hopf Bifurcation Problem in Reaction–Diffusion Systems, Lobachevskii Journal of Mathematics, 2021, vol. 42, no. 15, pp. 3567–3573. DOI: 10.1134/S1995080222030027.
18. Yumagulov, M. G. and Sidelnikova, N. A. Reaction–Diffusion Type Systems: Signs of Stability and Bifurcation, Bulletin of the Bashkir University, 2023, vol. 28, no. 4, pp. 303–309 (in Russian). DOI: 10.33184/bulletin-bsu-2023.4.1.
19. Yumagulov, M. G. and Vasenina, N. A. Spectral Properties of the Operators of the Reaction–Diffusion System and Signs of Bifurcation, Bulletin of Perm University, Mathematics, Mechanics, Computer Science, 2024, vol. 65, no. 2, pp. 17–25 (in Russian). DOI: 10.17072/1993-0550-2024-2-17-25.
20. Kulikov, A. N. Some Remarks on the Phenomenon of Diffusion Instability in Homogeneous Nonlinear Systems of the Third Order, Research on Stability and Oscillation Theory, Yaroslavl, 1981, pp. 113–123 (in Russian).
21. Henry, D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations [Geometricheskaya teoriya polulineynykh parabolicheskikh uravneniy], Moscow, Mir, 1985, 376 p. (in Russian).
22. Kulikov, A. N., Kulikov, D. A. and Frolov, D. G. The Keynes Model of the Business Cycle and the Problem of Diffusion Instability, Itogi Nauki i Tekhniki. Sovremennaya Matematika i Ee Prilozheniya. Tematicheskie Obzory, 2022, vol. 207, pp. 77–90 (in Russian). DOI: 10.36535/0233-6723-2022-207-77-90.
23. Shilnikov, L. P., Shilnikov, A. L., Turaev, D. V. and Chua, L. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics. Part 2 [Metody kachestvennoy teorii v nelineynoy dinamike. Chast’ 2], Izhevsk, Scientific Research Center “Regular and Chaotic Dynamics”, Institute of Space Research, 2009, 549 p. (in Russian).
24. Guckenheimer, J. and Holmes, P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields [Nelineynye kolebaniya, dinamicheskie sistemy i bifurkatsii vektornykh poley], Moscow–Izhevsk, Institute of Computer Research, 2002, 560 p. (in Russian).
25. Yumagulov, M. G. An Operator Method for Investigating Correct Bifurcation in Multiparametric Systems, Dokladi akademii nauk [Reports of the Academy of Sciences], 2008, vol. 423, no. 5, pp. 1–4 (in Russian).
26. Vyshinsky, A. A., Ibragimova, L. S., Murtazina, S. A. and Yumagulov, M. G. An Operator Method for Approximate Investigation of a Regular Bifurcation in Multiparameter Dynamical Systems, Ufa Mathematical Journal, 2010, vol. 2, no. 4, pp. 3–26 (in Russian).
Единственным правообладателем опубликованного произведения является Учредитель Владикавказского математического журнала.
Условия использования данного произведения регламентируются открытой лицензией (Creative Commons: Attribution-NonCommercial 4.0 International).
Использование метаданных научной статьи, включая название, аннотацию, сведения об авторах, список литературы, идентификаторы и иные элементы библиографического описания для дальнейшего неограниченного использования осуществляется на условиях открытой лицензии СС BY или CCO.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
