Аннотация: В работе найдены точные значения экстремальной характеристики специального вида, которая связывает наилучшее среднеквадратическое полиномиальное приближение аналитических в единичном круге функций \(f\in B_{2}^{(r)}\) \((r\in\mathbb{Z}_{+})\) с модулем непрерывности \(m\)-го порядка \(\omega_{m}(z^{r}f^{(r)},u)_{B_2}\) \(r\)-й производной \(f^{(r)}\), принадлежащей пространству Бергмана \(B_2\). При этом экстремальная характеристика содержит этот модуль не только под знаком интеграла, но и вне интеграла. Доказанное утверждение в теореме 1 является обобщением одного известного результата С. Б. Вакарчука и А. Н. Щитова [17], полученного для классического модуля непрерывности \(m\)-го порядка \(\omega_{m}(f^{(r)},t)_{L_2}\) периодических функций \(f\in L_{2}[0,2\pi]\) с производной \(f^{(r)}\in L_{2}[0,2\pi]\), на случай модуля непрерывности \(\omega_{m}(z^{r}f^{(r)},u)_{B_2}\) аналитических в единичном круге функций с производной \(f^{(r)}\in B_2\). Это позволяет вычислить точные значения бернштейновского, колмогоровского, линейного, гельфандовского и проекционного \(n\)-поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана \(B_2\).
Ключевые слова: среднеквадратическое приближение аналитических в круге функций, пространство Бергмана, \(n\)-поперечники
Образец цитирования: Палавонов К. К., Хуромонов Х. М. Среднеквадратическое приближение функций в пространстве Бергмана и значение поперечников некоторых классов функций // Владикавк. мат. журн. 2026. Т. 28, вып. 2. С. 108-120. DOI 10.46698/v5873-0367-2681-e
1. Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.-Л.: Наука, 1964.
2. Двейрин М. З. Поперечники и \(\varepsilon\)-энтропия классов функций, аналитических в единичном круге // Теория функций, функц. анализ и прил. 1975. Т. 23. С. 32–46.
3. Фарков Ю. А. Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре из \(\mathbb{C}^n\) // Успех. матем. наук. 1990. Т. 45, № 5. С. 197–198.
4. Вакарчук С. Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций // Укр. матем. журн. 1990. Т. 42, № 7. С. 873–881.
5. Шабозов М. Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана // Докл. АН РТ. 2002. Т. 383, № 2. С. 171–174.
6. Лангаршоев М. Р. Наилучшее приближение и значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана // Докл. АН РТ. 2005. Т. 48, № 3–4. С. 12–17.
7. Шабозов М. Ш., Хуромонов Х. М. О наилучшем приближении в среднем функций комплексного переменного рядами Фурье в пространстве Бергмана // Изв. вузов. Матем. 2020. № 2. С. 74–92. DOI: 10.26907/0021-3446-2020-2-74-92.
8. Шабозов М. Ш., Кадамшоев Н. У. Точные неравенства между наилучшими среднеквадратическими приближениями аналитических в круге функций и некоторыми характеристиками гладкости в пространстве Бергмана // Матем. заметки. 2021. Т. 110, № 2. С. 266–281. DOI: 10.4213/mzm13054.
9. Лангаршоев М. Р. Наилучшее приближение аналитических в единичном круге функций в весовом пространстве Бергмана \(B_{2,\gamma}\) // Вестн. рос. ун-тов. Математика. 2024. Т. 29, № 145. С. 65–76. DOI: 10.20310/2686-9667-2024-29-145-65-76.
10. Саидусайнов М. С. Наилучшее полиномиальное приближение и значения поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана // Докл. АН РТ. 2009. Т. 52, № 9. С. 661–668.
11. Шабозов М. Ш., Саидусайнов М. С. Среднеквадратичное приближение функций комплексной переменной рядами Фурье в весовом пространстве Бергмана // Владикавк. мат. журн. 2018. Т. 20, вып. 1. С. 86–97. DOI: 10.23671/VNC.2018.1.11400.
12. Хуромонов Х. М. Точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями и усредненными нормами конечных разностей в пространстве \(B_2\) и поперечники некоторых классов функций // Изв. вузов. Матем. 2022. № 3. С. 61–70. DOI: 10.26907/0021-3446-2022-3-61-70.
13. Хуромонов Х. М. О наилучшем совместном приближении функций в пространстве Бергмана \(B_{2}\) // Изв. вузов. Матем. 2023. № 5. С. 71–81. DOI: 10.26907/0021-3446-2023-5-71-81.
14. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближений. М.: Наука, 1987. 472 с.
15. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1976. 325 с.
16. Pinkus A. \(n\)-Widths in Approximation Theory. Berlin: Springer-Verlag, 1985. 252 p. (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge; vol. 7). DOI: 10.1007/978-3-642-69894-1.
17. Вакарчук С. Б., Щитов А. Н. Наилучшие полиномиальные приближения в \(L_{2}\) и поперечники некоторых классов функций // Укр. матем. журн. 2004. Т. 56, № 11. С. 1458–1466.
18. Айнуллоев Н. Значение поперечников некоторых классов дифференцируемых функций в \(L_2\) // Докл. АН ТаджССР. 1984. Т. 29, № 8. С. 415–418.
19. Тайков Л. В. Наилучшее приближение дифференцируемых функций в метрике пространства \(L_2\) // Матем. заметки. 1977. Т. 22, № 4. С. 535–542.
20. Тайков Л. В. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки. 1977. Т. 22, № 2. С. 285–295.
21. Шалаев В. В. О поперечниках в \(L_2\) классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков // Укр. матем. журн. 1991. Т. 43, № 1. С. 125–129.
Единственным правообладателем опубликованного произведения является Учредитель Владикавказского математического журнала.
Условия использования данного произведения регламентируются открытой лицензией (Creative Commons: Attribution-NonCommercial 4.0 International).
Использование метаданных научной статьи, включая название, аннотацию, сведения об авторах, список литературы, идентификаторы и иные элементы библиографического описания для дальнейшего неограниченного использования осуществляется на условиях открытой лицензии СС BY или CCO.
Сайт использует файлы cookie, необходимые для корректной работы сайта, и сервисы Яндекс-метрики, используемые для анализа статистики посещаемости, которые не содержат сведений, на основании которых можно идентифицировать личность пользователя. Продолжение пользования сайтом является согласием на применение данных технологий.
