О восстановлении решения задачи Дирихле по информации, известной со случайной ошибкой

		ISSN печатной версии 1683-3414 • ISSN он-лайн версии 1814-0807

			Войти

Главная Редколлегия Публикационная этика Рецензирование Свежий номер Архив Правила для авторов Работа с электронной редакцией Подать статью Контакты Адрес: Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53 Тел.: (8672)23-00-54 E-mail: rio@smath.ru	DOI: 10.46698/z9615-4666-9912-l О восстановлении решения задачи Дирихле по информации, известной со случайной ошибкой Бурикова С. В. Владикавказский математический журнал. 2026. Том 28. Выпуск 3.С. 51-59. Аннотация: В работе рассматривается задача оптимального восстановления решения задачи Дирихле для единичного шара в \(\mathbb R^d\) с центром в нуле. Требуется наилучшим образом восстановить это решение на сфере радиуса \(\rho <1\) с центром в нуле по следующей информации: известно, что граничная функция \(f\), заданная на единичной сфере \(\mathbb S^{d-1}\), принадлежит некоторому классу, содержащемуся в пространстве \(L_2(\mathbb S^{d-1})\), и о каждой функции из этого класса известен со случайной ошибкой конечный набор ее первых коэффициентов Фурье. Указанный класс представляет собой множество тех \(f\in L_2(\mathbb S^{d-1})\), у которых норма в \(L_2(\mathbb S^{d-1})\) заданной дробной степени сферического оператора Лапласа-Бельтрами этой функции не превосходит единицы. В работе построены явные выражения для оптимальных методов восстановления, зависящих от величины дисперсии случайной погрешности, и найдены точные значения соответствующих погрешностей. Эти методы линейны и используют, вообще говоря, не всю доступную для измерения информацию. Явные выражения для оптимальных методов позволяют строить эффективные численные алгоритмы решения подобных задач, где исходная информация задана неточно. Решенная задача принадлежит тому направлению в теории приближений, которое сформировалось в семидесятые годы прошлого века и которое называют теорией оптимального восстановления линейных функционалов и операторов на классах множеств, элементы которых известны приближенно. Данная теория активно развивалась и обобщалась в различных направлениях. При этом основное внимание было уделено задачам с детерминированной погрешностью. Настоящая работа является одной из первых, где дается точное решение задачи оптимального восстановления, когда информация известна со случайной ошибкой. Ключевые слова: задача Дирихле, оптимальное восстановление, коэффициенты Фурье, экстремальная задача Язык статьи: Русский Загрузить полный текст Загрузить JATS XML Образец цитирования: Бурикова С. В. О восстановлении решения задачи Дирихле по информации, известной со случайной ошибкой // Владикавк. мат. журн. 2026. Т. 28, вып. 3. С. 51-59. DOI 10.46698/z9615-4666-9912-l + Список литературы 1. Смоляк С. А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: Канд. дисс. М.: МГУ, 1965. 2. Micchelli C. A., Rivlin T. J. A survey of optimal recovery // Optimal Estimation in Approximation Theory. New York: Plenum Press, 1977. P. 1–54. DOI: 10.1007/978-1-4684-2388-4. 3. Micchelli C. A., Rivlin T. J. Lectures on Optimal Recovery // Numerical Analysis Lancaster. Berlin: Springer-Verlag, 1985. P. 21–93. (Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1129.) 4. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функц. анализ и его прил. 2003. Т. 37, № 3. С. 51–64. DOI: 10.4213/faa157. 5. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Об оптимальном гармоническом синтезе по неточно заданному спектру // Функц. анализ и его прил. 2010. Т. 44, № 3. С. 76–79. DOI: 10.4213/faa2999. 6. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление решения уравнения теплопроводности по неточным измерениям // Матем. сб. 2009. Т. 200, № 5. С. 37–54. DOI: 10.4213/sm7301. 7. Осипенко К. Ю. Введение в теорию оптимального восстановления. Санкт-Петербург: Лань, 2022. 388 с. 8. Кривошеев К. Ю. Об оптимальном восстановлении значений линейных операторов по информации, известной со случайной ошибкой // Матем. сб. 2021. Т. 212, № 11. С. 89–108. DOI: 10.4213/sm9484. 9. Максимова И. С., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление решения системы линейных дифференциальных уравнений по исходной информации со случайной ошибкой // Матем. сб. 2025. Т. 216, № 4. С. 67–89. DOI: 10.4213/sm10109. 10. Осипенко К. Ю. О восстановлении решения задачи Дирихле по неточным исходным данным // Владикавк. матем. журн. 2004. Т. 6, вып. 4. С. 55–62. 11. Абрамова Е. В. Наилучшее восстановление решения задачи Дирихле по неточно заданному спектру граничной функции // Владикавк. матем. журн. 2017. Т. 19, вып. 4. С. 3–12. 12. Абрамова Е. В., Магарил-Ильяев Г. Г., Сивкова Е. О. Наилучшее восстановление решения задачи Дирихле для полупространства по неточным измерениям // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60, № 10. С. 1711–1720. DOI: 10.31857/S0044466920100038. 13. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах / Перевод с англ. М.: Мир, 1974. 333 с. Единственным правообладателем опубликованного произведения является Учредитель Владикавказского математического журнала. Условия использования данного произведения регламентируются открытой лицензией (Creative Commons: Attribution-NonCommercial 4.0 International). Использование метаданных научной статьи, включая название, аннотацию, сведения об авторах, список литературы, идентификаторы и иные элементы библиографического описания для дальнейшего неограниченного использования осуществляется на условиях открытой лицензии СС BY или CCO. ← Содержание выпуска


	\| Главная \| Редколлегия \| Публикационная этика \| Рецензирование \| Свежий номер \| Архив \| Правила для авторов \| Работа с электронной редакцией \| Подать статью \| Политика конфиденциальности \|
	© 1999-2026 Южный математический институт