Аннотация: В этой статье, используя новое исчисление, определенное на фрактальных подмножествах множества действительных чисел, обсуждается вариант проблемы Штурма - Лиувилля, а именно фрактальная проблема Штурма - Лиувилля. Для таких уравнений доказана теорема существования и единственности. В этом контексте во введении обсуждается историческое развитие темы. Во втором параграфе представлены основные понятия \(F^{\alpha}\)-исчисления, определенные на фрактальных подмножествах множества действительных чисел. Даны определения \(F^{\alpha}\)-непрерывности, \(F^{\alpha}\)-производной и фрактального интеграла, а также некоторые теоремы, которые используются в статье. В третьем параграфе получены существование и единственность решения фрактальной задачи Штурма - Лиувилля с помощью метода последовательных приближений. Таким образом, на оси фрактального исчисления решается классическая проблема существования и единственности для уравнения Штурма - Лиувилля, при этом обобщаются существующие результаты.
Ключевые слова: фрактальные проблемы Штурма - Лиувилля, проблемы существования
Образец цитирования: Allahverdiev B. P. and Tuna H. Existence Theorem for a Fractal Sturm--Liouville Problem // Владикавк. мат. журн. 2023. Т. 26, № 1. C. 27-35 (in English). DOI 10.46698/h4206-1961-4981-h
1. Parvate, A. and Gangal, A. D. Calculus on Fractal Subsets of Real
Line - I: Formulation, Fractals, 2009, vol. 17, no. 1, pp. 53-81. DOI: 10.1142/S0218348X09004181.
2. Cetinkaya, F. A. and Golmankaneh, A. K. General Characteristics
of a Fractal Sturm-Liouville Problem, Turkish Journal of Mathematics, 2021, vol. 45, no. 4,
pp. 1835-1846. DOI: 10.3906/mat-2101-38.
3. Golmankhaneh, A. K. Fractal Calculus and its Applications: \(F^{\alpha}\)-Calculus, World Scientific Publ. Co. Pte. Ltd., 2022. DOI: 10.1142/12988.
4. Golmankhaneh, A. K. and Tunc, C. Stochastic Differential
Equations on Fractal Sets, Stochastics, 2020, vol. 92, no. 8, pp. 1244-1260.
DOI: 10.1080/17442508.2019.1697268.
5. Golmankhaneh, A. K. and Tunc, C. Sumudu Transform in Fractal
Calculus, Applied Mathematics and Computation, 2019, vol. 350, pp. 386-401. DOI: 10.1016/j.amc.2019.01.
6. Golmankhaneh, A. K. and Tunc, C. On the Lipschitz Condition in
the Fractal Calculus, Chaos, Solitons & Fractals, 2017, vol. 95, pp. 140-147. DOI: 10.1016/j.chaos.2016.12.001.
7. Parvate, A. and Gangal, A. D. Calculus on Fractal Subsets of Real
Line - I: Conjugacy with Ordinary Calculus, Fractals, 2011, vol. 19, no. 3, pp. 271-290.
DOI: 10.1142/S0218348X11005440.
8. Kolwankar, K. M. and Gangal, A. D. Fractional Differentiability of
Nowhere Differentiable Functions and Dimensions, 1996, Chaos, vol. 6, no. 4, pp. 505-513.
DOI: 10.1063/1.166197.
9. Kolwankar, K. M. and Gangal, A. D. Holder Exponents of Irregular
Signals and Local Fractional Derivatives, Pramana - Journal of Physics, 1997, vol. 48, pp. 49-68.
DOI: 10.1007/BF02845622.
10. Kolwankar, K. M. and Gangal, A. D. Local Fractional Fokker-Planck
Equation, Physical Review Letters, 1998, vol. 80, no. 2, pp. 214-217. DOI: 10.1103/PhysRevLett.80.214.
11. Kolwankar, K. M. and Gangal, A. D. Local Fractional Derivatives and
Fractal Functions of Several Variables, Mathematical Physics, 1998, arXiv:physics/9801010. DOI: 10.48550/arXiv.physics/9801010.
12. Aydemir, K. and Mukhtarov, O. Sh. A New Type Sturm-Liouville
Problem with an Abstract Linear Operator Contained in the Equation, Quaestiones Mathematicae,
2022, vol. 45, no. 12, pp. 1931-1948. DOI: 10.2989/16073606.2021.1979681.
13. Aydemir, K. and Mukhtarov, O. Sh. Qualitative Analysis of
Eigenvalues and Eigenfunctions of one Boundary Value-Transmission Problem,
Boundary Value Problems, 2016, article no. 82. DOI: 10.1186/s13661-016-0589-4.
14. Levitan, B. M. and Sargsjan, I. S. Sturm-Liouville and Dirac
Operators, Mathematics and its Applications (Soviet Series), Kluwer Academic
Publishers Group, Dordrecht, 1991.
15. Olgar, H. and Mukhtarov, O. Sh. Weak Eigenfunctions of
Two-Interval Sturm-Liouville Problems Together with Interaction Conditions,
Journal of Mathematical Physics, 2017, vol. 58, no. 4, 042201. DOI: 10.1063/1.4979615.
16. Ozkan, A. S. and Adalar, I. Inverse Nodal Problems for
Sturm-Liouville Equation with Nonlocal Boundary Conditions, Journal of Mathematical
Analysis and Applications, 2023, vol. 520, no. 1, 126904. DOI: 10.1016/j.jmaa.2022.126904.
17. Koyunbakan, H. Reconstruction of Potential in Discrete
Sturm-Liouville Problem, Qualitative Theory of Dynamical Systems, 2022, vol. 21, article no. 13. DOI: 10.1007/s12346-021-00548-9.
18. Karahan, D. and Mamedov, K. R. On a \(q\)-Boundary Value Problem
with Discontinuity Conditions, Bulletin of the South Ural State University,
Ser. Mathematics. Mechanics. Physics, 2021, vol. 13, no. 4, pp. 5-12. DOI: 10.14529/mmph210401.
19. Karahan, D. On a \(q\)-Analogue of the Sturm-Liouville Operator
with Discontinuity Conditions, Journal of Samara State Technical University,
Ser. Physical and Mathematical Sciences, 2022, vol. 26, no. 3, pp. 407-418. DOI: 10.14498/vsgtu1934.
